Вправа 10.23 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 10.23. Знайдіть відстань від початку координат до прямої $x+y=-8$.
Дано
пряма $x+y=-8$
точка $O(0;\,0)$
Знайти
$d$ — відстань від $O$ до прямої
Зведемо рівняння прямої до вигляду $ax+by+c=0$: $x+y+8=0$.
Відстань від точки $(x_0;\,y_0)$ до прямої:
$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Для $O(0;\,0)$:
$d=\dfrac{|0+0+8|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{8}{\sqrt{2}}=$
$=\dfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$.
Відстань від точки до прямої
Якщо пряму задано рівнянням $ax+by+c=0$, то відстань від точки $M(x_0;\,y_0)$ до неї:
$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
Звільнення від ірраціональності
Корінь зі знаменника прибирають домноженням на нього:
$\dfrac{8}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$.
Відстань — це перпендикуляр. Найкоротша відстань від точки до прямої — довжина перпендикуляра $OH$, опущеного з $O$ на пряму. Формула $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ дає саме її.
Нуль праворуч. Рівняння $x+y=-8$ переписуємо як $x+y+8=0$, звідки $a=1$, $b=1$, $c=8$. Коефіцієнти при $x$ і $y$ тут одиничні — їх легко не помітити, але $a=b=1$, а не нулі.
Раціоналізація. Результат $\dfrac{8}{\sqrt{2}}$ зводимо до $4\sqrt{2}$: домножили на $\sqrt{2}$ зверху й знизу, отримали $\dfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$. Це канонічний шкільний запис.
Перевірка по рисунку. Пряма $x+y=-8$ симетрична відносно бісектриси третьої чверті, а основа перпендикуляра — точка $H(-4;\,-4)$. Відстань $OH=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ — той самий результат.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.