Вправа 10.24 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 10.24. Знайдіть довжину хорди кола $(x+1)^2+(y-2)^2=25$, яка лежить на прямій $y=3x$.
Дано
$(x+1)^2+(y-2)^2=25$
пряма $y=3x$
Знайти
довжину хорди $AB$
Точки перетину прямої й кола
Підставляємо $y=3x$ у рівняння кола:
$(x+1)^2+(3x-2)^2=25$;
$x^2+2x+1+9x^2-12x+4=25$;
$10x^2-10x+5=25$;
$10x^2-10x-20=0$;
$x^2-x-2=0$;
$x_1=-1$, $x_2=2$.
$x_1=-1 \Rightarrow y_1=3\cdot(-1)=-3$ $\Rightarrow$ $A(-1;\,-3)$.
$x_2=2 \Rightarrow y_2=3\cdot 2=6$ $\Rightarrow$ $B(2;\,6)$.
Довжина хорди
$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=$
$=\sqrt{(2-(-1))^2+(6-(-3))^2}=$
$=\sqrt{3^2+9^2}=\sqrt{9+81}=$
$=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\approx 9{,}49$.
Хорда як перетин прямої й кола
Кінці хорди — спільні точки прямої й кола. Їх знаходять, підставляючи $y$ з рівняння прямої в рівняння кола й розв'язуючи квадратне рівняння.
Відстань між двома точками
$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Що таке хорда тут. Хорда — це відрізок, що сполучає дві точки кола. Раз вона лежить на прямій $y=3x$, то її кінці — це точки, де пряма перетинає коло. Тому спочатку знаходимо ці точки, а потім — відстань між ними.
Підстановка. Зручно, що пряма задана у вигляді $y=3x$ — одразу підставляємо $3x$ замість $y$ у рівняння кола. Лишається одна невідома $x$; квадратне рівняння $x^2-x-2=0$ дає $x_1=-1$ і $x_2=2$. Не забудьте для кожного $x$ порахувати свій $y$ за тією ж формулою $y=3x$.
Другий спосіб — через відстань до центра. Можна знайти відстань $d$ від центра $O(-1;\,2)$ до прямої, а тоді $AB=2\sqrt{r^2-d^2}$. Але якщо точки перетину виходять «гарними» (цілими), спосіб із координатами кінців простіший і наочніший.
Спрощення кореня. $\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}$. Виносимо з-під кореня найбільший точний квадрат-множник. Залишати $\sqrt{90}$ у відповіді — не помилка, але школа очікує спрощену форму.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.