Вправа 12.34 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 12.34. Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює $a$, а один із кутів — $60^{\circ}$. Знайдіть площу трапеції.
Дано
рівнобічна трапеція $ABCD$
описана навколо кола
бічна сторона $= a$, кут $= 60^{\circ}$
Знайти
$S$ — ?
Для описаного чотирикутника суми протилежних сторін рівні:
$BC + AD = AB + CD = a + a = 2a$.
Середня лінія: $m = \dfrac{BC + AD}{2} = \dfrac{2a}{2} = a$.
Висота: $h = a \sin 60^{\circ} = a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$S = m \cdot h = a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Описаний чотирикутник
Якщо в чотирикутник вписано коло, то суми протилежних сторін рівні:
$BC + AD = AB + CD$.
Площа трапеції
$S = \dfrac{BC + AD}{2} \cdot h = m \cdot h$,
де $m$ — середня лінія, $h$ — висота.
Ключ — описане коло. Для будь-якого описаного чотирикутника суми протилежних сторін рівні. У трапеції протилежні сторони — це дві основи й дві бічні. Тому сума основ дорівнює сумі бічних: $BC+AD=2a$. Звідси одразу середня лінія $m=a$ — рахувати самі основи не треба.
Висота через кут. Бічна сторона з основою утворює кут $60^{\circ}$. Висота — це бічна сторона, помножена на синус цього кута: $h=a\sin 60^{\circ}=\frac{a\sqrt3}{2}$.
Площа в одну дію. Площа трапеції — добуток середньої лінії на висоту: $S=m\cdot h=a\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{2}$. Завдяки описаному колу середня лінія дорівнює бічній стороні, тому відповідь виходить дуже компактною.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.