Вправа 14.25 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 14.25. У паралелограмі $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O$. Доведіть, що $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$.
Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, тому $O$ — середина $AC$ і середина $BD$.
$\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}$.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$, $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = \vec{0}$.
Що й треба було довести.
Діагоналі паралелограма
Точка перетину діагоналей ділить кожну з них навпіл, тому протилежні половинки задають протилежні вектори:
$\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}$.
Сума протилежних векторів
$\vec{p} + (-\vec{p}) = \vec{0}$.
Групуй у пари. Чотири вектори з $O$ розпадаються на дві пари протилежних: $\overrightarrow{OA}$ і $\overrightarrow{OC}$ лежать на одній діагоналі й рівні за довжиною, але напрямлені в різні боки. Те саме з $\overrightarrow{OB}$ і $\overrightarrow{OD}$.
Звідки протилежність. $O$ — середина діагоналі, тому $OA=OC$ і $OB=OD$ за довжиною, а напрями протилежні. Саме це робить кожну пару нуль-вектором.
Працює для будь-якого паралелограма. Доведення спирається лише на властивість діагоналей ділитися навпіл — форма й розміри паралелограма не важливі.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.