Вправа 14.44 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 14.44. Доведіть, що для неколінеарних векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ виконується нерівність $\left|\vec{a} - \vec{b}\right| < \left|\vec{a}\right| + \left|\vec{b}\right|$.
Відкладемо від однієї точки $O$ вектори $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ і $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.
Тоді $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{BA}$, і $\left|\vec{a}-\vec{b}\right| = BA$, $\left|\vec{a}\right| = OA$, $\left|\vec{b}\right| = OB$.
Оскільки $\vec{a}$ і $\vec{b}$ неколінеарні, точки $O$, $A$, $B$ утворюють трикутник.
За нерівністю трикутника $BA < OA + OB$.
Отже, $\left|\vec{a} - \vec{b}\right| < \left|\vec{a}\right| + \left|\vec{b}\right|$, що й треба було довести.
Правило різниці
$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$.
Нерівність трикутника
$BA < OA + OB$.
Різниця — це теж сторона трикутника. Відклавши $\vec{a}$ і $\vec{b}$ зі спільного початку $O$, дістаємо, що $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{BA}$ — сторона трикутника $OAB$, а модулі векторів — дві інші сторони.
Неколінеарність дає строгу нерівність. Тоді $O$, $A$, $B$ — справжній трикутник, і сторона $BA$ строго менша за суму $OA+OB$.
Зв'язок із 14.43. Доведення майже однакове: різниця $\vec{a}-\vec{b}$ — це сума $\vec{a}+(-\vec{b})$, тож працює та сама нерівність трикутника, лише вектори відкладають зі спільного початку.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.