Вправа 14.45 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 14.45. Чи може бути нульовим вектором сума трьох векторів, модулі яких дорівнюють:
- $5$; $2$; $3$;
- $4$; $6$; $3$;
- $8$; $9$; $18$?
Сума трьох векторів дорівнює нуль-вектору тоді, коли при послідовному відкладанні вони замикають трикутник (можливо, вироджений). Це можливо лише якщо найбільший модуль не перевищує суми двох інших.
1) $5$; $2$; $3$
$5 = 2 + 3$.
Найбільший дорівнює сумі двох інших — вектори можна розташувати на одній прямій. Сума може дорівнювати $\vec{0}$.
2) $4$; $6$; $3$
$6 < 4 + 3$.
Найбільший менший за суму двох інших — існує трикутник зі сторонами $4$, $6$, $3$. Сума може дорівнювати $\vec{0}$.
3) $8$; $9$; $18$
$18 > 8 + 9$.
Найбільший більший за суму двох інших — замкнути трикутник неможливо. Сума не може дорівнювати $\vec{0}$.
Умова замикання трикутника
Три відрізки можуть бути сторонами трикутника (можливо виродженого), якщо найбільший із них не перевищує суми двох інших:
$c \leqslant a + b$.
Сума нуль ⟺ замкнений трикутник. Якщо три вектори при додаванні «голова до хвоста» повертаються в початкову точку, їхні модулі — це сторони трикутника. Тому питання зводиться до того, чи існує трикутник із такими сторонами.
Достатньо порівняти з найбільшим. Перевіряємо лише найбільший модуль із сумою двох інших. У випадку 1 маємо рівність — трикутник «сплющується» в відрізок (вектори колінеарні), але сума все одно дорівнює $\vec{0}$.
Випадок 3 — неможливий. $18$ довше за $8+9=17$: навіть якщо два менші вектори витягнути в один бік, вони «не дотягнуться», щоб замкнути ламану.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.