Вправа 15.38 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
15.38. На сторонах $AB$ і $BC$ паралелограма $ABCD$ позначено відповідно точки $M$ і $N$ так, що $AM:MB=1:2$, $BN:NC=2:1$. Виразіть вектор $\overrightarrow{NM}$ через вектори $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ і $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$.
Дано
паралелограм $ABCD$
$M\in AB$, $AM:MB=1:2$
$N\in BC$, $BN:NC=2:1$
$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$
Знайти
$\overrightarrow{NM}-?$
$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\vec{a}$.
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, тому $\overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\vec{b}$.
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}$.
$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\vec{a}-\vec{a}-\dfrac{2}{3}\vec{b}$.
$\overrightarrow{NM}=-\dfrac{2}{3}\vec{a}-\dfrac{2}{3}\vec{b}$.
Поділ сторони у відношенні
$AM:MB=1:2 \Rightarrow \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\vec{a}$;
$BN:NC=2:1 \Rightarrow \overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.
Рівність сторін паралелограма
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$.
Усе зводимо до точки $A$. $M$ і $N$ виражаємо через $\overrightarrow{AM}$ і $\overrightarrow{AN}$ — вектори від однієї вершини $A$. Тоді $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$ рахується автоматично.
$N$ на стороні $BC$, а не $AD$. Щоб дістати $\overrightarrow{BN}$ через базис, спочатку міняємо $\overrightarrow{BC}$ на рівний йому $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$. Тоді $\overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\vec{b}$.
Напрям $\overrightarrow{NM}$, а не $\overrightarrow{MN}$. Просять саме $\overrightarrow{NM}$ — від $N$ до $M$, тому беремо $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$ (зменшуване — кінець $M$). Переплутати порядок — отримати протилежний знак.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.