Вправа 15.39 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
15.39. На сторонах $BC$ і $CD$ паралелограма $ABCD$ позначено відповідно точки $E$ і $F$ так, що $BE:EC=3:1$, $CF:FD=1:3$. Виразіть вектор $\overrightarrow{EF}$ через вектори $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ та $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$.
Дано
паралелограм $ABCD$
$E\in BC$, $BE:EC=3:1$
$F\in CD$, $CF:FD=1:3$
$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$
Знайти
$\overrightarrow{EF}-?$
Розкладемо радіус-вектори від $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$.
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}$.
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CD}=-\vec{a}$:
$\overrightarrow{AF}=\vec{a}+\vec{b}-\dfrac{1}{4}\vec{a}=\dfrac{3}{4}\vec{a}+\vec{b}$.
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\vec{a}+\vec{b}-\vec{a}-\dfrac{3}{4}\vec{b}$.
$\overrightarrow{EF}=-\dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{b}$.
Сторони паралелограма у базисі
$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, $\overrightarrow{CD}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$.
Поділ сторони у відношенні
$BE:EC=3:1 \Rightarrow \overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$;
$CF:FD=1:3 \Rightarrow \overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CD}$.
Будуй шлях від $A$. До $E$ йдемо через $B$: $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$. До $F$ — через $C$: $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}$. Кожну сторону переводимо в базис $\vec{a}$, $\vec{b}$.
Уважно зі стороною $CD$. Вектор $\overrightarrow{CD}$ напрямлений протилежно до $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, тому $\overrightarrow{CD}=-\vec{a}$. Загубити цей мінус — найчастіша помилка задачі.
Гарна відповідь — підказка. $\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{4}(\vec{b}-\vec{a})$ колінеарний діагоналі $\overrightarrow{DB}=\vec{b}-\vec{a}$ (точніше $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$). Симетрія умови ($3:1$ і $1:3$) і дала такий акуратний результат.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.