Вправа 16.14 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.14. У трикутнику $ABC$ відомо, що $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $CB = 2$. Знайдіть скалярний добуток векторів:
1) $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{BC}$; 2) $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{AB}$; 3) $\overrightarrow{CB}$ і $\overrightarrow{BA}$.
Дано
$\triangle ABC$
$\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$
$CB = 2$
Знайти
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BA}$
$\angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
$AB = \dfrac{CB}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{2}{\frac{1}{2}} = 4$.
$AC = \dfrac{CB}{\operatorname{tg} 30^{\circ}} = \dfrac{2}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 2\sqrt{3}$.
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
1) $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{BC}$
Обидва вектори входять у вершину $C$, кут між ними дорівнює $\angle C = 90^{\circ}$.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC} = 2\sqrt{3}\cdot 2\cdot\cos 90^{\circ} = 0$.
2) $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{AB}$
Обидва вектори виходять із вершини $A$, кут між ними дорівнює $\angle A = 30^{\circ}$.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} = 2\sqrt{3}\cdot 4\cdot\cos 30^{\circ} =$
$= 8\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12$.
3) $\overrightarrow{CB}$ і $\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{BA}$ утворюють кут $\angle B = 60^{\circ}$; вектор $\overrightarrow{CB}$ протилежний до $\overrightarrow{BC}$, тому кут між $\overrightarrow{CB}$ і $\overrightarrow{BA}$ дорівнює $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BA} = 2\cdot 4\cdot\cos 120^{\circ} =$
$= 8\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -4$.
Скалярний добуток через модулі й кут
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
Сторони прямокутного трикутника
Проти кута $30^{\circ}$ лежить катет $CB$. Тоді
$AB = \dfrac{CB}{\sin 30^{\circ}}$, $\quad AC = \dfrac{CB}{\operatorname{tg} 30^{\circ}}$.
Протилежні вектори
$\angle(\overrightarrow{CB};\,\vec{v}) = 180^{\circ} - \angle(\overrightarrow{BC};\,\vec{v})$.
Спершу — сторони, потім — добутки. У формулі скалярного добутку потрібні довжини векторів. Дано лише $CB = 2$, тому решту сторін знаходимо через кути: $\angle B = 60^{\circ}$, $AB = 4$, $AC = 2\sqrt{3}$.
Кут між векторами — головне. Дивись, з якої вершини й куди дивиться кожна стрілка. У пункті 1) обидва вектори входять у $C$ — кут прямий, добуток нульовий. У пункті 2) обидва виходять з $A$ — кут $30^{\circ}$. У пункті 3) $\overrightarrow{CB}$ розвернутий відносно $\overrightarrow{BC}$, тому замість $60^{\circ}$ беремо $120^{\circ}$ — звідси мінус.
Перевірка знаком. Гострий кут — добуток додатний (пункт 2), тупий — від'ємний (пункт 3), прямий — нуль (пункт 1). Якщо знак не збігається з видом кута — десь переплутано напрям вектора.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.