Вправа 16.13 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.13. У трикутнику $ABC$ відомо, що $\angle C = 90^{\circ}$, $AC = BC = 1$. Знайдіть скалярний добуток векторів:
1) $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{BC}$; 2) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$; 3) $\overrightarrow{CB}$ і $\overrightarrow{BA}$.
Дано
$\triangle ABC$
$\angle C = 90^{\circ}$
$AC = BC = 1$
Знайти
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BA}$
$\angle A = \angle B = 45^{\circ}$; $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2}$.
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
1) $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{BC}$
Обидва вектори входять у вершину $C$, кут між ними дорівнює $\angle C = 90^{\circ}$.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC} = 1\cdot 1\cdot\cos 90^{\circ} = 0$.
2) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$
Обидва вектори виходять із вершини $A$, кут між ними дорівнює $\angle A = 45^{\circ}$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \sqrt{2}\cdot 1\cdot\cos 45^{\circ} =$
$= \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1$.
3) $\overrightarrow{CB}$ і $\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{BA}$ утворюють кут $\angle B = 45^{\circ}$; вектор $\overrightarrow{CB}$ протилежний до $\overrightarrow{BC}$, тому кут між $\overrightarrow{CB}$ і $\overrightarrow{BA}$ дорівнює $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BA} = 1\cdot\sqrt{2}\cdot\cos 135^{\circ} =$
$= \sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1$.
Скалярний добуток через модулі й кут
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
Прямокутний рівнобедрений трикутник
Якщо $\angle C = 90^{\circ}$ і $AC = BC$, то $\angle A = \angle B = 45^{\circ}$, а гіпотенуза $AB = AC\sqrt{2}$.
Протилежні вектори
$\angle(\overrightarrow{CB};\,\vec{v}) = 180^{\circ} - \angle(\overrightarrow{BC};\,\vec{v})$.
Спочатку — кут між векторами, потім — формула. Скалярний добуток рахуємо за модулями й косинусом. Модулі тут — це довжини сторін ($1$, $1$, $\sqrt{2}$), а кут залежить від напрямів стрілок.
Стеж за тим, у вершину чи з вершини дивиться стрілка. У пункті 1) обидва вектори входять у $C$, тому кут між ними — прямо $\angle C = 90^{\circ}$, і добуток нульовий. У пункті 3) вектор $\overrightarrow{CB}$ виходить із $C$, а $\overrightarrow{BC}$ входив би в $C$ — це протилежні напрями. Тому кут не $45^{\circ}$, а $135^{\circ}$, і добуток від'ємний.
Чому добуток у пункті 2) додатний, а в 3) від'ємний. Знак скалярного добутку — це знак косинуса. Гострий кут ($45^{\circ}$) дає плюс, тупий ($135^{\circ}$) — мінус. Самі числа однакові за модулем ($1$), бо й довжини, й гострий кут ті самі — відрізняється лише напрям одного вектора.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.