Вправа 16.17 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.17. Точка $O$ — центр правильного шестикутника $ABCDEF$, сторона якого дорівнює $1$. Обчисліть:
1) $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}$; 2) $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD}$; 3) $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{ED}$; 4) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}$.
Дано
$ABCDEF$ — правильний шестикутник
$O$ — центр
сторона дорівнює $1$
Знайти
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{ED}$, $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}$
У правильному шестикутнику внутрішній кут дорівнює $120^{\circ}$; радіус $OA = 1$ (дорівнює стороні); більша діагональ $AD = 2$, менша діагональ $AC = \sqrt{3}$.
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
1) $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}$
$|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{CD}| = 1$; кут між напрямами $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{CD}$ дорівнює $60^{\circ}$.
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD} = 1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$.
2) $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD}$
$|\overrightarrow{AD}| = 2$, $|\overrightarrow{CD}| = 1$; кут між $\overrightarrow{AD}$ і $\overrightarrow{CD}$ дорівнює $60^{\circ}$.
$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD} = 2\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ} = 2\cdot\dfrac{1}{2} = 1$.
3) $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{ED}$
$|\overrightarrow{AO}| = 1$ (радіус), $|\overrightarrow{ED}| = 1$; кут між $\overrightarrow{AO}$ і $\overrightarrow{ED}$ дорівнює $60^{\circ}$.
$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{ED} = 1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$.
4) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}$
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3}$, $|\overrightarrow{CD}| = 1$; $\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{CD}$, тому кут дорівнює $90^{\circ}$.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD} = \sqrt{3}\cdot 1\cdot\cos 90^{\circ} = 0$.
Скалярний добуток через модулі й кут
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
Правильний шестикутник зі стороною $a$
Внутрішній кут $120^{\circ}$; радіус описаного кола (відстань від центра до вершини) дорівнює стороні: $OA = a$.
Більша діагональ (через центр) $= 2a$; менша діагональ $= a\sqrt{3}$.
Головне — правильно визначити кут між напрямами. Самі модулі тут прості: сторона й радіус дорівнюють $1$, більша діагональ — $2$, менша — $\sqrt{3}$. Складність — у напрямах стрілок. Вектори можна подумки переносити паралельно, тому кут між $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{CD}$ зручно «побачити», звівши їх до спільної точки.
Чому всюди виходить $60^{\circ}$. Сторони правильного шестикутника, продовжені, дають кути, кратні $60^{\circ}$. Тому між багатьма парами напрямів кут саме $60^{\circ}$ ($\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$). У пункті 3) вектор $\overrightarrow{AO}$ — це радіус, він теж нахилений під $60^{\circ}$ до сторони $ED$.
Перпендикуляр у пункті 4). Менша діагональ $AC$ перпендикулярна до сторони $CD$: кут між напрямами $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{CD}$ дорівнює $90^{\circ}$. Тому добуток дорівнює нулю незалежно від довжин.
Часта помилка. Брати $|\overrightarrow{AD}| = 1$ (як сторону). $AD$ — це велика діагональ через центр, її довжина $2$. Так само $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3}$, а не $1$. Завжди розрізняй сторону й діагональ.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.