Вправа 16.18 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.18. Діагоналі ромба $ABCD$ перетинаються в точці $O$, $AB = 6$, $\angle ABC = 120^{\circ}$. Знайдіть скалярний добуток векторів:
1) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AD}$; 2) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CB}$; 3) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$; 4) $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{DA}$; 5) $\overrightarrow{BD}$ і $\overrightarrow{AC}$; 6) $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{AD}$; 7) $\overrightarrow{OC}$ і $\overrightarrow{BC}$.
Дано
$ABCD$ — ромб
$AC \cap BD = O$
$AB = 6$, $\angle ABC = 120^{\circ}$
Знайти
скалярні добутки пар векторів 1)–7)
Усі сторони ромба дорівнюють $6$. $\angle ABC = 120^{\circ}$, тому $\angle BAD = 60^{\circ}$. Діагоналі ромба перпендикулярні й ділять його кути навпіл.
$BD = 6$ (бо трикутник $ABD$ зі сторонами $6$, $6$ і кутом $60^{\circ}$ — рівносторонній); $AC = 6\sqrt{3}$; $OC = \dfrac{AC}{2} = 3\sqrt{3}$.
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
1) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AD}$
Виходять із $A$, кут між ними $\angle BAD = 60^{\circ}$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 6\cdot 6\cdot\cos 60^{\circ} = 36\cdot\dfrac{1}{2} = 18$.
2) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CB}$
$\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{BA}$ утворюють кут $\angle ABC = 120^{\circ}$; $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CB}$ напрямлені відповідно протилежно, тому кут між ними теж $120^{\circ}$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB} = 6\cdot 6\cdot\cos 120^{\circ} = 36\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -18$.
3) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$
У ромбі $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ (співнапрямлені, рівні), кут $0^{\circ}$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC} = 6\cdot 6\cdot\cos 0^{\circ} = 36$.
4) $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{DA}$
У ромбі $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, а $\overrightarrow{DA}$ протилежний до $\overrightarrow{AD}$, тому кут між $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{DA}$ дорівнює $180^{\circ}$.
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA} = 6\cdot 6\cdot\cos 180^{\circ} = -36$.
5) $\overrightarrow{BD}$ і $\overrightarrow{AC}$
Діагоналі ромба перпендикулярні: $\overrightarrow{BD} \perp \overrightarrow{AC}$, кут $90^{\circ}$.
$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC} = 6\cdot 6\sqrt{3}\cdot\cos 90^{\circ} = 0$.
6) $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{AD}$
Діагональ $AC$ ділить кут $\angle BAD = 60^{\circ}$ навпіл, тому кут між $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{AD}$ дорівнює $30^{\circ}$.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} = 6\sqrt{3}\cdot 6\cdot\cos 30^{\circ} =$
$= 36\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 54$.
7) $\overrightarrow{OC}$ і $\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{OC}$ напрямлений уздовж діагоналі $AC$, $|\overrightarrow{OC}| = 3\sqrt{3}$. Діагональ $AC$ ділить кут $\angle BCD = 60^{\circ}$ навпіл, тому кут між $\overrightarrow{OC}$ (співнапрямлений з $\overrightarrow{AC}$) і $\overrightarrow{BC}$ дорівнює $30^{\circ}$.
$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BC} = 3\sqrt{3}\cdot 6\cdot\cos 30^{\circ} =$
$= 18\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 27$.
Скалярний добуток через модулі й кут
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
Властивості ромба
Усі сторони рівні; протилежні сторони співнапрямлені ($\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$). Сума сусідніх кутів дорівнює $180^{\circ}$.
Діагоналі перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути ромба навпіл.
Спочатку — діагоналі. Із кута $120^{\circ}$ маємо сусідній $60^{\circ}$, а трикутник $ABD$ виходить рівностороннім — звідси коротка діагональ $BD = 6$. Довга діагональ $AC = 6\sqrt{3}$. Це знадобиться у пунктах 5)–7).
Більшість пунктів — це сторона зі стороною. У них модулі по $6$, а кут — або $60^{\circ}$, або $120^{\circ}$, або $0^{\circ}$/$180^{\circ}$ для паралельних сторін. Тому відповіді — $\pm 18$ і $\pm 36$.
Напрям вирішує знак. $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ — це той самий напрям (пункт 3, кут $0^{\circ}$, плюс). А $\overrightarrow{DA}$ — протилежний до $\overrightarrow{BC}$ (пункт 4, кут $180^{\circ}$, мінус). Літери самі підказують напрям: порядок $D \to C$ співпадає з $A \to B$, а $D \to A$ йде «назад» відносно $B \to C$.
Діагоналі дають $30^{\circ}$. У пунктах 6) і 7) працює те, що діагональ ділить кут $60^{\circ}$ навпіл. Тому між діагоналлю й стороною кут $30^{\circ}$. У пункті 7) ще й важливо, що $\overrightarrow{OC}$ дивиться в той самий бік, що й $\overrightarrow{AC}$, тому кут той самий, а довжина — половина діагоналі.
Перпендикуляр діагоналей (пункт 5). $\overrightarrow{BD} \perp \overrightarrow{AC}$ — фундаментальна властивість ромба, тому добуток нульовий незалежно від довжин діагоналей.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.