Вправа 16.29 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.29. Доведіть, використовуючи вектори, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(-1;\,4)$, $B(-2;\,5)$, $C(-1;\,6)$ і $D(0;\,5)$ є квадратом.
Дано
$A(-1;\,4)$, $B(-2;\,5)$
$C(-1;\,6)$, $D(0;\,5)$
Довести
$ABCD$ — квадрат
$\overrightarrow{AB} = (-2-(-1);\,5-4) = (-1;\,1)$;
$\overrightarrow{DC} = (-1-0;\,6-5) = (-1;\,1)$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, тому $ABCD$ — паралелограм.
$\overrightarrow{AD} = (0-(-1);\,5-4) = (1;\,1)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = (-1)\cdot 1 + 1\cdot 1 = 0$, тому $\angle A = 90^{\circ}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$;
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$ — сусідні сторони рівні.
Паралелограм із прямим кутом і рівними сусідніми сторонами — квадрат.
Координати й модуль вектора
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\,y_B - y_A)$, $\quad |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Ознака квадрата
Паралелограм є квадратом, якщо в нього прямий кут ($\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0$) і рівні сусідні сторони ($|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$).
Квадрат = три умови. Паралелограм, прямий кут, рівні сусідні сторони. Тому доведення йде у три кроки: рівність векторів протилежних сторін, нульовий скалярний добуток сусідніх, рівність їх модулів.
Порядок кроків важливий. Спершу паралелограм — інакше рівність двох сторін і один прямий кут ще не гарантують квадрат. Лише в паралелограмі один прямий кут «поширюється» на всі, а рівність сусідніх сторін — на всі чотири.
Перевір модулі точно. Обидва дорівнюють $\sqrt{2}$. Якби вони були різні — вийшов би прямокутник, а не квадрат. Саме рівність сусідніх сторін відрізняє квадрат від прямокутника.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.