Вправа 16.28 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.28. Доведіть, використовуючи вектори, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(3;\,-2)$, $B(4;\,0)$, $C(2;\,1)$ і $D(1;\,-1)$ є прямокутником.
Дано
$A(3;\,-2)$, $B(4;\,0)$
$C(2;\,1)$, $D(1;\,-1)$
Довести
$ABCD$ — прямокутник
$\overrightarrow{AB} = (4-3;\,0-(-2)) = (1;\,2)$;
$\overrightarrow{DC} = (2-1;\,1-(-1)) = (1;\,2)$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, тому $ABCD$ — паралелограм.
$\overrightarrow{AD} = (1-3;\,-1-(-2)) = (-2;\,1)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 1\cdot(-2) + 2\cdot 1 = -2 + 2 = 0$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$, тобто $\angle A = 90^{\circ}$.
Паралелограм із прямим кутом — прямокутник.
Координати вектора
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\,y_B - y_A)$.
Ознака паралелограма
Якщо $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, то $ABCD$ — паралелограм.
Ознака прямокутника
Паралелограм, у якого хоча б один кут прямий ($\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0$), є прямокутником.
План доведення. Прямокутник = паралелограм + прямий кут. Тому доводимо у два кроки: спершу що це паралелограм (рівність векторів двох протилежних сторін), потім що кут прямий (скалярний добуток сусідніх сторін дорівнює нулю).
Чому достатньо однієї пари рівних векторів. Якщо $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ — сторони $AB$ і $DC$ рівні й паралельні. Цього вже достатньо, щоб чотирикутник був паралелограмом; другу пару перевіряти не обов'язково.
Чому достатньо одного прямого кута. У паралелограмі протилежні кути рівні, а сусідні — у сумі $180^{\circ}$. Тому якщо один кут $90^{\circ}$, то й усі інші $90^{\circ}$.
Маленький бонус. Тут ще й $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{5}$, тобто сторони рівні — насправді це квадрат. Але квадрат — окремий випадок прямокутника, тому доведене твердження залишається правильним.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.