Вправа 16.5 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.5. Знайдіть скалярний добуток векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$, якщо:
1) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a};\,\vec{b}) = 60^{\circ}$; 2) $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\angle(\vec{a};\,\vec{b}) = 135^{\circ}$; 3) $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a};\,\vec{b}) = 0^{\circ}$; 4) $|\vec{a}| = \dfrac{1}{2}$, $|\vec{b}| = 6$, $\angle(\vec{a};\,\vec{b}) = 180^{\circ}$.
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
1) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle = 60^{\circ}$
$\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot 5\cdot\cos 60^{\circ} = 10\cdot\dfrac{1}{2} = 5$.
2) $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\angle = 135^{\circ}$
$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot 2\sqrt{2}\cdot\cos 135^{\circ} =$
$= 6\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6$.
3) $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle = 0^{\circ}$
$\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 1\cdot\cos 0^{\circ} = 4\cdot 1 = 4$.
4) $|\vec{a}| = \dfrac{1}{2}$, $|\vec{b}| = 6$, $\angle = 180^{\circ}$
$\vec{a}\cdot\vec{b} = \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot\cos 180^{\circ} = 3\cdot(-1) = -3$.
Скалярний добуток через модулі й кут
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
Значення косинуса
$\cos 0^{\circ} = 1$; $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$; $\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; $\cos 180^{\circ} = -1$.
Уся задача — одна формула. Скалярний добуток — це добуток довжин на косинус кута між векторами. Підставляєш три числа й рахуєш. Головне — не помилитися зі значенням косинуса.
Знак підказує косинус. Якщо кут гострий ($0^{\circ}$–$90^{\circ}$) — косинус додатний, добуток додатний. Тупий кут ($90^{\circ}$–$180^{\circ}$) — косинус від'ємний, добуток від'ємний. Тому в пунктах 2) і 4) відповіді з мінусом — це нормально.
Обережно з коренями. У пункті 2) зручно перемножити $3\cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$, а тоді $6\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$: корені дають $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2$, отже $6\cdot\dfrac{2}{2} = 6$, зі знаком мінус — $-6$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.