Вправа 16.8 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.8. Обговоріть з однокласниками й однокласницями, чи може скалярний добуток векторів дорівнювати добутку їхніх модулів. У разі ствердної відповіді з'ясуйте, за якої умови це можливо.
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
Рівність $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|$ означає, що
$|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b}) = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|$.
Для ненульових векторів $|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \ne 0$, тому
$\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b}) = 1$, звідки $\angle(\vec{a};\,\vec{b}) = 0^{\circ}$.
Отже, рівність можлива, коли вектори співнапрямлені.
Скалярний добуток через модулі й кут
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\angle(\vec{a};\,\vec{b})$.
Косинус набуває значення $1$ лише при куті $0^{\circ}$ (вектори співнапрямлені).
Ідея міркування. Скалярний добуток завжди «менший або дорівнює» добутку модулів, бо різниця між ними — це множник $\cos$, який не перевищує $1$. Рівність настає тільки тоді, коли косинус «дотягує» до своєї максимальної одиниці.
А коли косинус дорівнює $1$? Лише при куті $0^{\circ}$. Тобто вектори лежать на одній прямій і дивляться в один бік — співнапрямлені. Якщо вони протилежно напрямлені ($180^{\circ}$), то $\cos = -1$, і добуток дорівнює $-|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|$, а не $+|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|$.
Окремий випадок. Якщо хоч один вектор нульовий, обидві частини дорівнюють нулю — формально рівність теж виконується, але кут між нульовим вектором і будь-яким не визначений, тому цей випадок зазвичай не розглядають.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.