Вправа 17.15 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
17.15. Розглянемо коло радіуса $r$ із центром у точці $O$. Кожній точці $X$ кола поставимо у відповідність точку $X_1$, яка належить радіусу $OX$, таку, що $OX_1 = \dfrac{1}{2}r$. Як ви думаєте, яка фігура є образом заданого кола? Чи є рухом описане перетворення?
Для кожної точки $X$ кола $OX_1 = \dfrac{1}{2}r$ — стала величина.
Усі точки $X_1$ рівновіддалені від $O$ на $\dfrac{1}{2}r$, тому утворюють коло з центром $O$ і радіусом $\dfrac{1}{2}r$.
Перевіримо, чи це рух: візьмемо діаметрально протилежні точки $X$ і $Y$ ($XY = 2r$). Їх образи $X_1$, $Y_1$ також діаметрально протилежні на меншому колі: $X_1Y_1 = r$.
$XY = 2r \ne r = X_1Y_1$ — відстань змінилася, отже перетворення не є рухом.
Коло як геометричне місце точок
Коло — множина всіх точок, рівновіддалених від центра на сталу відстань (радіус).
Рух
Перетворення є рухом, лише якщо воно зберігає відстані між усіма точками. Якщо хоча б для однієї пари відстань змінилася — це не рух.
Чому образ — коло. Кожну точку «підтягуємо» до центра по її радіусу так, щоб відстань до $O$ стала $\dfrac{1}{2}r$. Усі образи опиняються на однаковій відстані від $O$ — а це й означає коло, тільки вдвічі меншого радіуса.
Чому це не рух. Достатньо одного контрприкладу: дві протилежні точки кола віддалені на $2r$, а їх образи — лише на $r$. Раз відстань зменшилася, перетворення не зберігає відстаней. Це стиск (гомотетія з коефіцієнтом $\dfrac{1}{2}$), а не рух.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.