Вправа 18.15 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
18.15. На рисунку 18.22 зображено рівнобедрений трикутник $ABC$ і пряму $l$, яка містить його висоту, проведену до основи $AC$. Відрізки $AM$ і $CN$ — медіани трикутника. Укажіть образи точок $A$ і $B$, медіани $CN$ і сторони $AC$ при симетрії відносно прямої $l$.
Дано
рівнобедрений $\triangle ABC$ ($AB = BC$)
$l$ містить висоту до основи $AC$
$AM$, $CN$ — медіани
Знайти
образи $A$, $B$, медіани $CN$, сторони $AC$
Рисунок дивіться в підручнику (рис. 18.22).
Висота до основи $AC$ — вісь симетрії трикутника. При симетрії відносно $l$: $A \leftrightarrow C$, $B \to B$, а сторона $AB$ переходить у сторону $CB$.
Образ точки $A$ — точка $C$.
Образ точки $B$ — сама точка $B$ (лежить на осі $l$).
Медіана $CN$: $C \to A$, а $N$ (середина $AB$) $\to M$ (середина $CB$), отже образ $CN$ — медіана $AM$.
Сторона $AC$: $A \to C$, $C \to A$, отже образ $AC$ — той самий відрізок $AC$ (переходить сам у себе).
Вісь симетрії рівнобедреного трикутника
У рівнобедреному трикутнику пряма, що містить висоту (медіану, бісектрису) до основи, є його віссю симетрії. Вона переводить трикутник сам у себе: кінці основи міняються місцями, бічні сторони переходять одна в одну.
Образ точки на осі
Точка, що лежить на осі симетрії, переходить сама в себе. Відрізок, симетричний відносно осі, теж переходить у відрізок.
Спирайся на «дзеркальність». Вісь $l$ ділить рівнобедрений трикутник на дві дзеркальні половини. Тому образ кожного елемента шукаємо як його «відбиття»: ліве стає правим. $A$ зліва — переходить у $C$ справа; вершина $B$ на самій осі — лишається на місці.
Чому $CN \to AM$. Медіана $CN$ іде з вершини $C$ у середину $N$ протилежної сторони $AB$. Її дзеркало: вершина $C$ відбивається в $A$, а $N$ (середина $AB$) — у $M$ (середина $CB$). Отже відрізок $CN$ цілком накладається на відрізок $AM$ — другу медіану. Дві медіани до бічних сторін рівнобедреного трикутника симетричні відносно осі.
Чому $AC$ переходить сам у себе. Основа $AC$ перпендикулярна до осі і ділиться нею навпіл. Симетрія міняє місцями її кінці ($A\leftrightarrow C$), але сам відрізок залишається тим самим — як фігура він переходить у себе.
Часта помилка. Пишуть, що образ $B$ — якась інша точка. Але $B$ лежить на осі $l$ (бо висота до основи виходить саме з вершини $B$), тож її образ — вона сама.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.