Вправа 18.26 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
18.26. Кола із центрами $O_1$ і $O_2$ перетинаються в точках $A$ і $B$. Доведіть, що точки $A$ і $B$ симетричні відносно прямої $O_1O_2$.
Дано
кола з центрами $O_1$, $O_2$
перетинаються в точках $A$ і $B$
Довести
$A$, $B$ симетричні відносно $O_1O_2$
$A$ і $B$ лежать на першому колі, тому $O_1A = O_1B$ (радіуси).
$A$ і $B$ лежать на другому колі, тому $O_2A = O_2B$ (радіуси).
$O_1$ рівновіддалена від $A$ і $B$, тому лежить на серединному перпендикулярі до $AB$.
$O_2$ рівновіддалена від $A$ і $B$, тому теж лежить на серединному перпендикулярі до $AB$.
Через дві точки $O_1$ і $O_2$ проходить єдина пряма, отже пряма $O_1O_2$ — серединний перпендикуляр до $AB$.
$O_1O_2 \perp AB$ і проходить через середину $AB$, тому $A$ і $B$ симетричні відносно $O_1O_2$.
Серединний перпендикуляр
Множина точок, рівновіддалених від кінців відрізка $AB$, — це серединний перпендикуляр до $AB$ (пряма, перпендикулярна до $AB$ і проведена через його середину).
Симетрія відносно прямої
Точки $A$ і $B$ симетричні відносно прямої $l$, якщо $l$ — серединний перпендикуляр до $AB$ ($l \perp AB$ і проходить через середину $AB$).
Радіуси дають рівні відстані. Точки $A$ і $B$ — спільні для обох кіл. На першому колі $O_1A$ і $O_1B$ — радіуси, тож рівні. На другому колі рівні $O_2A$ і $O_2B$. Отже обидва центри рівновіддалені від $A$ і від $B$.
Геометричне місце точок. Точки, рівновіддалені від кінців відрізка, лежать на серединному перпендикулярі до нього. Тому й $O_1$, і $O_2$ лежать на серединному перпендикулярі до $AB$. А через дві точки проходить лише одна пряма — значить, пряма $O_1O_2$ і є цим серединним перпендикуляром.
Завершення. Раз $O_1O_2$ — серединний перпендикуляр до $AB$, то вона перпендикулярна до $AB$ і ділить його навпіл. Це точно означення симетрії: $A$ і $B$ симетричні відносно $O_1O_2$.
Наочно. Лінія центрів двох кіл, що перетинаються, завжди є «дзеркалом» для спільної хорди $AB$: картинка симетрична відносно $O_1O_2$. Сама хорда $AB$ перпендикулярна до лінії центрів і ділиться нею навпіл.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.