Вправа 18.27 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
18.27. Точка $M$ належить прямому куту $ABC$ (рис. 18.24). Точки $M_1$ і $M_2$ — образи точки $M$ при симетрії відносно прямих $BA$ і $BC$ відповідно. Доведіть, що точки $M_1$, $B$ і $M_2$ лежать на одній прямій.
Дано
$\angle ABC = 90^{\circ}$, $M$ — у куті
$M_1$ — образ $M$ відносно $BA$
$M_2$ — образ $M$ відносно $BC$
Довести
$M_1$, $B$, $M_2$ — на одній прямій
При симетрії відносно прямої $BA$ точка $B$ переходить сама в себе, тому $BM_1 = BM$ і $\angle ABM_1 = \angle ABM$.
При симетрії відносно прямої $BC$ так само $BM_2 = BM$ і $\angle CBM_2 = \angle CBM$.
$\angle M_1BM_2 = \angle ABM_1 + \angle ABM + \angle CBM + \angle CBM_2 = 2(\angle ABM + \angle CBM) = 2\angle ABC$.
$\angle M_1BM_2 = 2 \cdot 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
Кут $M_1BM_2$ розгорнутий, отже точки $M_1$, $B$, $M_2$ лежать на одній прямій.
Осьова симетрія зберігає кути й відстані
При симетрії відносно прямої $l$ зберігаються довжини відрізків і величини кутів. Точка, що лежить на $l$, переходить сама в себе.
Розгорнутий кут
Якщо $\angle M_1BM_2 = 180^{\circ}$, то промені $BM_1$ і $BM_2$ протилежні, а точки $M_1$, $B$, $M_2$ лежать на одній прямій.
Ідея — порахувати кут $M_1BM_2$. Щоб довести, що три точки на одній прямій, достатньо показати, що кут між променями $BM_1$ і $BM_2$ розгорнутий ($180^{\circ}$). Тому всю роботу зводимо до підрахунку цього кута через відомі частини.
Що дає симетрія. Дзеркало відносно $BA$ «відкидає» промінь $BM$ на той самий кут по інший бік від $BA$: $\angle ABM_1 = \angle ABM$. Так само дзеркало відносно $BC$ дає $\angle CBM_2 = \angle CBM$. Точка $B$ лежить на обох осях, тому залишається на місці — кут вимірюємо від однієї вершини $B$.
Складаємо кути. Обходячи від $BM_1$ до $BM_2$, проходимо чотири шматки: $\angle ABM_1$, $\angle ABM$, $\angle CBM$, $\angle CBM_2$. Перший дорівнює другому, четвертий — третьому, тож сума $= 2(\angle ABM + \angle CBM) = 2\angle ABC$. А $\angle ABC = 90^{\circ}$, тому всього $180^{\circ}$.
Чому важлива саме «прямокутність». Результат $180^{\circ}$ виходить тому, що подвоюється прямий кут. Якби кут $ABC$ був не прямим, точки $M_1$, $B$, $M_2$ не лягли б на одну пряму — вони утворили б кут $2\angle ABC$. Умова «прямий кут» тут — ключова.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.