Вправа 19.17 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.17. Точка $O$ — центр правильного шестикутника $ABCDEF$ (рис. 19.30). Укажіть образи сторони $AF$, діагоналі $BF$, діагоналі $AD$, шестикутника $ABCDEF$ при повороті навколо точки $O$ за годинниковою стрілкою на кут: 1) $60^{\circ}$; 2) $120^{\circ}$.
Дано
правильний шестикутник $ABCDEF$
$O$ — його центр
Знайти
образи $AF$, $BF$, $AD$, шестикутника при повороті за год. стрілкою на $60^{\circ}$ і $120^{\circ}$
Поворот на $60^{\circ}$ за годинниковою стрілкою переводить кожну вершину в наступну: $A \to B \to C \to D \to E \to F \to A$.
1) Поворот на $60^{\circ}$:
$AF \to BA$ ($AB$); $BF \to CA$ ($AC$); $AD \to BE$.
2) Поворот на $120^{\circ}$ ($= 2 \cdot 60^{\circ}$):
$AF \to CB$ ($BC$); $BF \to DB$ ($BD$); $AD \to CF$.
Шестикутник $ABCDEF$ в обох випадках переходить сам у себе.
Поворотна симетрія правильного шестикутника
Правильний шестикутник переходить сам у себе при повороті навколо центра на $60^{\circ}$ (і кратні: $120^{\circ}$, $180^{\circ}$, ...).
Поворот на $60^{\circ}$ зсуває кожну вершину на сусідню.
Образ відрізка
Щоб знайти образ сторони або діагоналі, досить знайти образи її кінців.
Крок повороту — $60^{\circ}$. У правильного шестикутника шість однакових частин, тому найменший кут самосуміщення — $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$. Поворот на $60^{\circ}$ переставляє кожну вершину на сусідню в напрямку повороту.
Рухайся по вершинах. За годинниковою стрілкою: $A \to B$, $B \to C$ і так далі по колу. Щоб знайти образ відрізка, переведи окремо обидва його кінці. Наприклад, $AF$: $A \to B$, $F \to A$, тому $AF \to AB$.
Поворот на $120^{\circ}$ — два кроки. Оскільки $120^{\circ} = 2 \cdot 60^{\circ}$, кожна вершина зсувається через одну: $A \to C$, $B \to D$ і т.д. Зручно зробити поворот на $60^{\circ}$ двічі поспіль.
Сам шестикутник — нерухомий як ціле. При повороті на $60^{\circ}$ або $120^{\circ}$ окремі вершини міняються місцями, але фігура в цілому лягає сама на себе. Тому образ шестикутника $ABCDEF$ — це той самий шестикутник.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.