Вправа 19.27 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.27. Вершина $A$ квадрата $ABCD$ є центром повороту проти годинникової стрілки на кут $90^{\circ}$. Знайдіть відрізок $CC_1$, де точка $C_1$ — образ точки $C$ при заданому повороті, якщо $AB = 1$ см.
Дано
квадрат $ABCD$, $AB = 1$ см
$A$ — центр повороту на $90^{\circ}$ проти год. стрілки
$C_1$ — образ $C$
Знайти
$CC_1 - ?$
Поворот зберігає відстані: $AC_1 = AC$.
$AC$ — діагональ квадрата: $AC = AB\sqrt{2} = \sqrt{2}$ (см).
$AC_1 = AC = \sqrt{2}$; $\angle CAC_1 = 90^{\circ}$.
$\triangle CAC_1$ — прямокутний рівнобедрений ($AC = AC_1$, $\angle A = 90^{\circ}$).
$CC_1 = \sqrt{AC^2 + AC_1^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ (см).
Поворот навколо точки
При повороті навколо центра $A$ на кут $\alpha$ точка $C$ переходить у $C_1$, де $AC_1 = AC$ і $\angle CAC_1 = \alpha$.
Діагональ квадрата
$d = a\sqrt{2}$,
де $a$ — сторона квадрата.
Теорема Піфагора
У прямокутному трикутнику $c^2 = a^2 + b^2$ ($c$ — гіпотенуза).
Ключ — діагональ квадрата. Точка $C$ — вершина, протилежна до центра $A$, тому $AC$ — це діагональ квадрата, а не сторона. Її довжина $AC = a\sqrt{2} = \sqrt{2}$. Це найважливіший крок: легко помилитися й узяти $AC = 1$.
Поворот не змінює довжину. Образ $C_1$ розташований так, що $AC_1 = AC = \sqrt{2}$, а кут між $AC$ і $AC_1$ дорівнює куту повороту, тобто $90^{\circ}$. Тому трикутник $CAC_1$ — прямокутний (прямий кут при $A$) і рівнобедрений ($AC = AC_1$).
Гіпотенуза — це шукане $CC_1$. За теоремою Піфагора $CC_1 = \sqrt{AC^2 + AC_1^2} = \sqrt{2 + 2} = 2$. Зручно, що під коренем виходить точний квадрат $4$.
Чому тут один розв'язок (на відміну від 19.26). У цій задачі напрям повороту заданий — «проти годинникової стрілки». Тому образ $C_1$ один-єдиний, і відповідь однозначна.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.