Вправа 19.28 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.28. Точки $A$ і $C$ належать гострому куту, але не лежать на його сторонах. Використовуючи задачу 2 пункту 19, побудуйте паралелограм $ABCD$ так, щоб точки $B$ і $D$ лежали на сторонах кута.
Дано
гострий кут із вершиною $S$
точки $A$, $C$ всередині кута
Побудувати
паралелограм $ABCD$; $B$, $D$ — на сторонах кута
У паралелограмі діагоналі $AC$ і $BD$ мають спільну середину, тому $O$ — середина $AC$.
Будуємо $O$ — середину відрізка $AC$.
Будуємо образ однієї сторони кута при симетрії відносно $O$ (задача 2 пункту 19).
$B$ — точка перетину цього образу з другою стороною кута.
$D$ — образ точки $B$ при симетрії відносно $O$ ($O$ — середина $BD$); $D$ лежить на першій стороні кута.
$O$ — спільна середина $AC$ і $BD$, тому $ABCD$ — паралелограм.
Діагоналі паралелограма
Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл — мають спільну середину.
Образ прямої при центральній симетрії
Образ прямої при симетрії відносно точки — паралельна їй пряма (задача 2 пункту 19).
З чого почати. У паралелограмі $ABCD$ діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в одній точці й діляться нею навпіл. Точки $A$ і $C$ нам дані, тому середину $O$ діагоналі $AC$ можна побудувати одразу. Ця сама точка $O$ має бути й серединою $BD$ — ось ключ до розв'язання.
Як знайти $B$ і $D$. Точки $B$ і $D$ симетричні відносно $O$ і мають лежати на сторонах кута. Застосуємо ідею задачі 2 пункту 19: побудуємо образ однієї сторони кута при симетрії відносно $O$. Там, де цей образ перетне другу сторону, і буде точка $B$.
Чому це працює. Якщо $B$ лежить на образі нижньої сторони, то його прообраз (точка, симетрична $B$ відносно $O$) лежить на самій нижній стороні — це й буде $D$. Водночас $B$ за побудовою лежить на верхній стороні. Отже, обидві вершини потрапляють на сторони кута.
Перевірка. Переконайся, що $O$ — середина і $AC$, і $BD$. Якщо це так, то за ознакою паралелограма (діагоналі діляться навпіл) чотирикутник $ABCD$ — справді паралелограм. Задача має розв'язок, бо кут гострий і образ сторони перетинає другу сторону.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.