Вправа 19.29 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.29. Використовуючи ідею розв'язання задачі 4 пункту 19, розв'яжіть таку задачу. Точка $M$ належить куту $ABC$ і не належить його сторонам. Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник, вершина прямого кута якого є точкою $M$, а дві інші належать сторонам $BA$ і $BC$ відповідно.
Дано
кут $ABC$, точка $M$ всередині кута
Побудувати
рівнобедрений прямокутний $\triangle MPQ$: $\angle M = 90^{\circ}$, $MP = MQ$, $P \in BA$, $Q \in BC$
У трикутнику $MPQ$: $MP = MQ$ і $\angle PMQ = 90^{\circ}$, тому $Q$ — образ $P$ при повороті навколо $M$ на $90^{\circ}$.
Будуємо образ сторони $BA$ при повороті навколо $M$ на $90^{\circ}$ (ідея задачі 4 пункту 19).
$Q$ — точка перетину цього образу зі стороною $BC$.
$P$ — прообраз $Q$: поворот $Q$ навколо $M$ на $90^{\circ}$ у протилежний бік; $P$ лежить на $BA$.
$MP = MQ$, $\angle PMQ = 90^{\circ}$ — $\triangle MPQ$ рівнобедрений прямокутний.
Поворот навколо точки
При повороті навколо $M$ на кут $\alpha$ точка $P$ переходить у $Q$, де $MQ = MP$ і $\angle PMQ = \alpha$.
Образ прямої — пряма (повернута на той самий кут).
Рівнобедрений прямокутний трикутник
Має прямий кут і дві рівні сторони (катети) при ньому.
Перетвори умову на властивість повороту. Шуканий трикутник $MPQ$ має $MP = MQ$ і прямий кут $\angle PMQ = 90^{\circ}$. Але це точно означає, що $Q$ — образ $P$ при повороті навколо $M$ на $90^{\circ}$ (поворот зберігає довжину й створює потрібний кут). Тому замість «вгадувати» $P$ і $Q$ ми використаємо поворот.
Поверни цілу сторону кута. Точка $P$ невідома, зате відомо, що вона на стороні $BA$. Повернемо усю сторону $BA$ навколо $M$ на $90^{\circ}$ — отримаємо пряму-образ. Образ точки $P$ лежатиме на цій прямій, а ще він має бути точкою $Q$ на стороні $BC$. Отже, $Q$ — це перетин образу $BA$ зі стороною $BC$.
Поверни назад, щоб знайти $P$. Коли $Q$ знайдено, точку $P$ дістаємо зворотним поворотом: повертаємо $Q$ навколо $M$ на $90^{\circ}$ у протилежний бік. За побудовою $P$ опиниться на стороні $BA$. Трикутник $MPQ$ готовий.
Чому метод працює. Це той самий прийом, що й у задачі 4 пункту 19: коли невідому точку шукають на заданій лінії, повертають усю лінію — і перетин образу з іншою умовою дає шукану точку. Поворот «зв'язує» дві сторони кута через точку $M$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.