Вправа 19.37 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.37. Позначте на площині 6 точок так, щоби будь-які три з них були вершинами рівнобедреного трикутника.
Дано
площина, 6 точок
Побудувати
будь-які 3 точки — рівнобедрений трикутник
Беремо вершини правильного п'ятикутника і його центр $O$ — разом 6 точок.
Усі сторони й діагоналі п'ятикутника попарно рівні: 5 сторін рівні між собою і 5 діагоналей рівні між собою.
Центр $O$ рівновіддалений від усіх вершин: усі 5 відрізків від $O$ до вершин рівні (радіуси описаного кола).
Три вершини п'ятикутника: будь-який такий трикутник має дві рівні сторони (дві сторони, або дві діагоналі, або сторона і діагональ із рівних) — рівнобедрений.
$O$ і дві вершини: $O$-вершина = $O$-вершина (радіуси), тому трикутник рівнобедрений.
Правильний п'ятикутник
У правильному п'ятикутнику всі сторони рівні й усі діагоналі рівні. Центр рівновіддалений від усіх вершин (радіуси описаного кола рівні).
Рівнобедрений трикутник
Трикутник рівнобедрений, якщо хоча б дві його сторони рівні.
Чому саме п'ятикутник із центром. Потрібна конфігурація, де серед будь-яких трьох точок знайдеться пара рівних відрізків. Правильний п'ятикутник це гарантує: у ньому лише дві різні довжини — сторона і діагональ, і кожна повторюється по 5 разів.
Три вершини п'ятикутника. Обираючи три з п'яти вершин, ми з'єднуємо їх сторонами і діагоналями. Оскільки різних довжин лише дві, серед трьох з'єднань обов'язково знайдуться дві однакові — трикутник рівнобедрений.
Центр і дві вершини. Від центра $O$ до будь-якої вершини — однаковий радіус. Тому трикутник «центр + дві вершини» має дві рівні сторони ($O$ до кожної вершини) — теж рівнобедрений.
Чому це працює для всіх наборів. Будь-яка трійка з 6 точок — це або три вершини, або центр і дві вершини. Обидва випадки дають рівнобедрений трикутник. Тому умова виконується завжди.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.