Вправа 19.8 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.8. На рисунку 19.22 зображено два рівних відрізки $AB$ і $BC$, причому $\angle ABC = 60^{\circ}$. Знайдіть точку $O$ таку, щоб відрізок $AB$ був образом відрізка $BC$ при повороті навколо точки $O$ проти годинникової стрілки на кут $120^{\circ}$.
Дано
$AB = BC$
$\angle ABC = 60^{\circ}$
поворот на $120^{\circ}$ проти год. стрілки: $BC \to AB$
Знайти
центр повороту $O$
$BC \to AB$: образ $C$ — точка $B$, образ $B$ — точка $A$.
$OC = OB$ і $OB = OA$, тому $OA = OB = OC$.
$O$ — точка, рівновіддалена від $A$, $B$, $C$, тобто центр кола, описаного навколо $\triangle ABC$.
$O$ — точка перетину серединних перпендикулярів до $AB$ і $BC$.
$\angle BOA = \angle COB = 120^{\circ}$ — поворот на $120^{\circ}$ переводить $C$ у $B$, а $B$ — у $A$.
Поворот навколо центра
При повороті навколо $O$ на кут $\alpha$ точка $X$ переходить у $X_1$, де $OX_1 = OX$ і $\angle XOX_1 = \alpha$.
Тому центр повороту однаково віддалений від кожної точки та її образу.
Серединний перпендикуляр
Точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на його серединному перпендикулярі.
Центр описаного кола трикутника — точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін.
Спочатку розберись, що в що переходить. Сказано: $AB$ — образ $BC$. Відрізок $BC$ має кінці $B$ і $C$, відрізок $AB$ — кінці $A$ і $B$. При повороті порядок кінців зберігається, тому образ $C$ — це $B$, а образ $B$ — це $A$. Звідси й «розкручуємо» властивості центра.
Центр рівновіддалений від точки та образу. Оскільки $C \to B$, маємо $OC = OB$. Оскільки $B \to A$, маємо $OB = OA$. Разом: $OA = OB = OC$ — точка $O$ однаково віддалена від усіх трьох вершин. А це і є означення центра описаного кола.
Як побудувати $O$. Проведи серединний перпендикуляр до $AB$ і серединний перпендикуляр до $BC$. Їх перетин — шукана точка $O$. Перевір кут: $\angle COB$ має дорівнювати $120^{\circ}$ (саме на нього повертаємо).
Звідки кут $120^{\circ}$. Трикутник $ABC$ рівнобедрений ($AB = BC$) з кутом $60^{\circ}$ при вершині $B$ — отже, він рівносторонній. У рівносторонньому трикутнику центральні кути дорівнюють $\dfrac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$. Тому поворот саме на $120^{\circ}$ переводить одну вершину в сусідню.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.