Вправа 19.9 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.9. На рисунку 19.23 зображено два рівних перпендикулярних відрізки $MN$ і $NK$. Знайдіть точку $O$ таку, щоб відрізок $NK$ був образом відрізка $MN$ при повороті навколо точки $O$ за годинниковою стрілкою на кут $90^{\circ}$.
Дано
$MN = NK$, $MN \perp NK$
поворот на $90^{\circ}$ за год. стрілкою: $MN \to NK$
Знайти
центр повороту $O$
$MN \to NK$: образ $M$ — точка $N$, образ $N$ — точка $K$.
$OM = ON$ і $ON = OK$, тому $OM = ON = OK$.
$\angle MNK = 90^{\circ}$, тому центр кола, описаного навколо $\triangle MNK$, — середина гіпотенузи $MK$.
$O$ — середина $MK$.
$\angle MON = \angle NOK = 90^{\circ}$ — поворот на $90^{\circ}$ переводить $M$ у $N$, а $N$ — у $K$.
Поворот навколо центра
При повороті навколо $O$ на кут $\alpha$ точка $X$ переходить у $X_1$, де $OX_1 = OX$ і $\angle XOX_1 = \alpha$.
Центр описаного кола прямокутного трикутника
У прямокутному трикутнику центр описаного кола — середина гіпотенузи.
Тому середина гіпотенузи однаково віддалена від усіх трьох вершин.
Розберись, що в що переходить. $NK$ — образ $MN$. Відрізок $MN$ має кінці $M$ і $N$, відрізок $NK$ — кінці $N$ і $K$. Поворот зберігає порядок кінців, тому образ $M$ — це $N$, а образ $N$ — це $K$. Це відправна точка всього розв'язання.
Центр рівновіддалений від точки та образу. $M \to N$ дає $OM = ON$; $N \to K$ дає $ON = OK$. Разом $OM = ON = OK$ — точка $O$ однаково віддалена від трьох вершин трикутника $MNK$, тобто є центром описаного кола.
Прямий кут — короткий шлях. За умовою $MN \perp NK$, тому $\angle MNK = 90^{\circ}$, і $\triangle MNK$ прямокутний з гіпотенузою $MK$. Для прямокутного трикутника центр описаного кола — це середина гіпотенузи. Не треба будувати два серединних перпендикуляри — достатньо знайти середину $MK$.
Перевірка кута. Переконайся, що $\angle MON = 90^{\circ}$: саме на цей кут повертаємо. Якщо $O$ — середина $MK$, то $\triangle MON$ і $\triangle NOK$ — рівнобедрені прямокутні, і кути при вершині $O$ дорівнюють $90^{\circ}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.