Вправа 2.15 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.15. Доведіть, що трикутник зі сторонами $8$ см, $15$ см і $17$ см є прямокутним.
Найбільша сторона $17$:
$17^2 = 289$.
$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
$17^2 = 8^2 + 15^2$.
За оберненою теоремою Піфагора кут проти сторони $17$ прямий, отже трикутник прямокутний.
Обернена теорема Піфагора
Якщо квадрат однієї сторони дорівнює сумі квадратів двох інших, то трикутник прямокутний, а ця сторона — гіпотенуза:
$a^2 = b^2 + c^2 \;\Rightarrow\; \angle A = 90^{\circ}$.
Доведення в один рядок. Достатньо показати рівність $17^2=8^2+15^2$. Обчислюємо: $289=64+225=289$. Рівність виконується — за оберненою теоремою Піфагора трикутник прямокутний.
Найбільша сторона — гіпотенуза. Перевіряти треба саме найдовшу сторону ($17$): у прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди найбільша. Якби ти підставив у ліву частину $15$, рівність не вийшла б, і висновок був би хибним.
Це окремий випадок теореми косинусів. Коли $a^2=b^2+c^2$, у формулі $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ чисельник дорівнює нулю, тож $\cos A=0$, а це і є $\angle A=90^{\circ}$. Трійка $8,15,17$ — одна з відомих піфагорових трійок.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.