Вправа 2.18 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.18. На гіпотенузі $AB$ прямокутного трикутника $ABC$ позначено точку $M$ так, що $AM : BM = 1 : 3$. Знайдіть відрізок $CM$, якщо $AC = BC = 4$ см.
Дано
$\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$
$AC = BC = 4$ см
$M \in AB$, $AM : BM = 1 : 3$
Знайти
$CM - ?$
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$ (см).
$AM = \dfrac{1}{4}\cdot AB = \dfrac{1}{4}\cdot4\sqrt{2} = \sqrt{2}$ (см).
$\angle A = 45^{\circ}$ (рівнобедрений прямокутний трикутник).
У трикутнику $ACM$ відрізок $CM$ лежить проти кута $A$:
$CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2\cdot AC\cdot AM\cdot\cos45^{\circ}$.
$CM^2 = 16 + 2 - 2\cdot4\cdot\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} =$
$= 18 - 8 = 10$.
$CM = \sqrt{10}$ (см).
Теорема Піфагора
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$.
Теорема косинусів
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
Рівнобедрений прямокутний трикутник
Гострі кути по $45^{\circ}$.
Спершу гіпотенуза. Точка $M$ ділить гіпотенузу $AB$, тож спочатку знаходимо саму гіпотенузу за теоремою Піфагора: $AB=4\sqrt2$. Без неї не знайти $AM$.
Відношення $1:3$ дає чверть. $AM:BM=1:3$ ділить гіпотенузу на $4$ частини, $AM$ — одна з них: $AM=\dfrac14 AB=\sqrt2$. Працюємо з трикутником $ACM$, тож $BM$ далі не потрібен.
Кут $45^{\circ}$ — з рівнобедреності. Катети рівні ($AC=BC=4$), тож трикутник рівнобедрений прямокутний, а його гострі кути по $45^{\circ}$. Підставляємо $\cos45^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}$; добуток $2\cdot4\cdot\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=8$, бо $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.