Вправа 2.17 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.17. На стороні $AB$ рівностороннього трикутника $ABC$ позначено точку $D$ так, що $AD : DB = 2 : 1$. Знайдіть відрізок $CD$, якщо $AB = 6$ см.
Дано
$\triangle ABC$ — рівносторонній
$AB = 6$ см, $D \in AB$
$AD : DB = 2 : 1$
Знайти
$CD - ?$
$AD = \dfrac{2}{3}\cdot6 = 4$ (см), $\angle A = 60^{\circ}$, $AC = 6$ см.
У трикутнику $ACD$ відрізок $CD$ лежить проти кута $A$:
$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2\cdot AC\cdot AD\cdot\cos60^{\circ}$.
$CD^2 = 36 + 16 - 2\cdot6\cdot4\cdot\dfrac{1}{2} =$
$= 52 - 24 = 28$.
$CD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ (см).
Теорема косинусів
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
Рівносторонній трикутник
Усі сторони рівні, усі кути по $60^{\circ}$.
Виділи потрібний трикутник. Відрізок $CD$ ділить рівносторонній трикутник на два. Зручний для нас — $ACD$: у ньому одразу відомі дві сторони ($AC=6$ і $AD=4$) та кут $60^{\circ}$ між ними. Сам $CD$ лежить навпроти цього кута.
Знайди $AD$ з відношення. $AD:DB=2:1$ означає, що $AB$ ділиться на $3$ рівні частини, з яких $AD$ — дві. Тож $AD=\dfrac{2}{3}\cdot6=4$. Друга частина $DB=2$ у цьому розв'язанні не знадобиться, бо ми працюємо з трикутником $ACD$.
Кут — це $60^{\circ}$, бо трикутник рівносторонній. Усі кути рівностороннього трикутника по $60^{\circ}$, тож $\angle A=60^{\circ}$. Далі звичайна підстановка, $\sqrt{28}=2\sqrt7$ після винесення множника $4=2^2$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.