Вправа 2.25 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.25. Центр кола, вписаного в прямокутний трикутник, знаходиться на відстанях $a$ і $b$ від кінців гіпотенузи. Знайдіть гіпотенузу трикутника.
Дано
$\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$
$O$ — центр вписаного кола
$OA = a$, $OB = b$
Знайти
гіпотенузу $AB - ?$
$O$ — точка перетину бісектрис, тому $\angle OAB = \dfrac{\angle A}{2}$, $\angle OBA = \dfrac{\angle B}{2}$.
$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$, тож у трикутнику $AOB$:
$\angle AOB = 180^{\circ} - \dfrac{\angle A + \angle B}{2} =$
$= 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
Гіпотенуза $AB$ лежить проти кута $\angle AOB$ у трикутнику $AOB$:
$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos135^{\circ}$.
$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) =$
$= a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}$.
$AB = \sqrt{a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}}$.
Центр вписаного кола
Це точка перетину бісектрис трикутника. Відрізки $OA$, $OB$ — частини бісектрис кутів $A$ і $B$.
Кут між бісектрисами
$\angle AOB = 90^{\circ} + \dfrac{\angle C}{2}$.
Для $\angle C = 90^{\circ}$: $\angle AOB = 135^{\circ}$.
Теорема косинусів
$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle AOB$.
Гіпотенуза — сторона трикутника $AOB$. Центр вписаного кола $O$ разом із кінцями гіпотенузи $A$ і $B$ утворює трикутник. У ньому відомі дві сторони ($OA=a$, $OB=b$), а гіпотенуза $AB$ лежить навпроти кута $\angle AOB$. Залишилось знайти цей кут.
Звідки $135^{\circ}$. $O$ — перетин бісектрис, тож $\angle OAB$ і $\angle OBA$ — половини кутів $A$ і $B$. У трикутнику $AOB$ третій кут дорівнює $180^{\circ}$ мінус ці половинки. Оскільки $\angle A+\angle B=90^{\circ}$ (бо $\angle C=90^{\circ}$), половинки в сумі дають $45^{\circ}$, і $\angle AOB=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$.
Тупий кут додає доданок. $\cos135^{\circ}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, тож $-2ab\cos135^{\circ}=+ab\sqrt2$. Відповідь $\sqrt{a^2+b^2+ab\sqrt2}$ далі не спрощується — це загальна формула через буквені дані.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.