Вправа 2.26 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.26. Точка $O$ — центр кола, вписаного в трикутник $ABC$, $BC = a$, $AC = b$, $\angle AOB = 120^{\circ}$. Знайдіть сторону $AB$.
Дано
$\triangle ABC$, $O$ — центр вписаного кола
$BC = a$, $AC = b$
$\angle AOB = 120^{\circ}$
Знайти
$AB - ?$
Кут між бісектрисами з вершин $A$ і $B$:
$\angle AOB = 90^{\circ} + \dfrac{\angle C}{2}$.
$120^{\circ} = 90^{\circ} + \dfrac{\angle C}{2}$, $\angle C = 60^{\circ}$.
Сторона $AB$ лежить проти кута $C$ у трикутнику $ABC$:
$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2\cdot BC\cdot AC\cdot\cos C$.
$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\dfrac{1}{2} =$
$= a^2 + b^2 - ab$.
$AB = \sqrt{a^2 + b^2 - ab}$.
Кут між бісектрисами
$\angle AOB = 90^{\circ} + \dfrac{\angle C}{2}$,
де $O$ — центр вписаного кола.
Теорема косинусів
$AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.
Кут $AOB$ — ключ до кута $C$. Дано не кут самого трикутника, а кут між бісектрисами. Між ними є точний зв'язок: $\angle AOB=90^{\circ}+\dfrac{\angle C}{2}$. Підставивши $120^{\circ}$, знаходимо $\angle C=60^{\circ}$.
Далі — звичайна теорема косинусів. Тепер у трикутнику $ABC$ відомі дві сторони ($a$ і $b$) та кут $C=60^{\circ}$ між ними. Сторона $AB$ лежить навпроти, тож $AB^2=a^2+b^2-2ab\cos60^{\circ}=a^2+b^2-ab$.
Запам'ятай формулу кута бісектрис. $\angle AOB=90^{\circ}+\dfrac{\angle C}{2}$ — корисний факт, що часто зустрічається в задачах про вписане коло. Кут між двома бісектрисами завжди тупий (бо до $90^{\circ}$ додається половина третього кута), і це допомагає себе перевірити.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.