Вправа 2.3 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.3. Знайдіть довжину невідомого відрізка $x$ на рисунку 2.9 (довжини відрізків дано в сантиметрах).
а) Сторона $x$ лежить проти кута $45^{\circ}$ між сторонами $7$ і $\sqrt{18}$:
$x^2 = 7^2 + (\sqrt{18})^2 - 2\cdot7\cdot\sqrt{18}\cdot\cos45^{\circ}$.
$x^2 = 49 + 18 - 14\sqrt{18}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} =$
$= 67 - 7\sqrt{36} = 67 - 42 = 25$.
$x = 5$ (см).
б) Сторона $x$ лежить проти кута $150^{\circ}$ між сторонами $\sqrt{27}$ і $2$:
$x^2 = (\sqrt{27})^2 + 2^2 - 2\cdot\sqrt{27}\cdot2\cdot\cos150^{\circ}$.
$x^2 = 27 + 4 - 4\sqrt{27}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =$
$= 31 + 2\sqrt{81} = 31 + 18 = 49$.
$x = 7$ (см).
Теорема косинусів
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
Косинуси кутів
$\cos45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos150^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Шукана сторона — навпроти даного кута. На обох рисунках кут із позначеним градусом лежить навпроти $x$. Це означає, що $x$ — та сама сторона «зліва» у теоремі косинусів, а дві сторони з числами утворюють даний кут. Підставляй прямо.
Корені зникають красиво. Тут числа підібрані так, що добутки коренів дають цілі: $\sqrt{18}\cdot\sqrt2=\sqrt{36}=6$, а $\sqrt{27}\cdot\sqrt3=\sqrt{81}=9$. Тому не поспішай рахувати корінь у десяткових — спершу перемнож корені, часто виходить ціле.
Тупий кут додає, гострий віднімає. У пункті б) кут $150^{\circ}$ тупий, його косинус від'ємний, і «$-2bc\cos150^{\circ}$» перетворюється на «$+$». Тому сторона навпроти тупого кута виходить довшою — це узгоджується з геометрією: чим більший кут, тим довша протилежна сторона.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.