Вправа 2.6 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.6. Знайдіть невідому сторону трикутника $DEF$, якщо:
1) $DE = 2$ см, $EF = 8$ см, $\cos E = \dfrac{19}{32}$;
2) $DE = 4$ см, $DF = 2\sqrt{3}$ см, $\angle D = 30^{\circ}$;
3) $DF = 3$ см, $EF = 5$ см, $\angle F = 120^{\circ}$.
1) Сторона $DF$ лежить проти кута $E$:
$DF^2 = DE^2 + EF^2 - 2\cdot DE\cdot EF\cdot\cos E$.
$DF^2 = 4 + 64 - 2\cdot2\cdot8\cdot\dfrac{19}{32} =$
$= 68 - 19 = 49$.
$DF = 7$ (см).
2) Сторона $EF$ лежить проти кута $D$:
$EF^2 = DE^2 + DF^2 - 2\cdot DE\cdot DF\cdot\cos D$.
$EF^2 = 16 + 12 - 2\cdot4\cdot2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} =$
$= 28 - 24 = 4$.
$EF = 2$ (см).
3) Сторона $DE$ лежить проти кута $F$:
$DE^2 = DF^2 + EF^2 - 2\cdot DF\cdot EF\cdot\cos F$.
$DE^2 = 9 + 25 - 2\cdot3\cdot5\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) =$
$= 34 + 15 = 49$.
$DE = 7$ (см).
Теорема косинусів
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
Косинуси кутів
$\cos30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos120^{\circ} = -\dfrac{1}{2}$.
Та сама схема, інші букви. Трикутник тепер $DEF$, але принцип незмінний: шукана сторона лежить навпроти даного кута, і саме цей кут стоїть під косинусом. Визнач протилежну вершину за «відсутньою» в назві сторони літерою — і підставляй.
Косинус буває й дробом. У пункті 1) $\cos E=\dfrac{19}{32}$ — звичайний дріб, не табличне значення. Це нормально: теорема працює з будь-яким косинусом. Просто акуратно перемнож $2\cdot2\cdot8\cdot\dfrac{19}{32}$ — тридцять два скорочується, лишається $19$.
Знак косинуса визначає «характер» сторони. У пункті 2) кут $30^{\circ}$ гострий — віднімаємо, сторона виходить короткою ($2$). У пункті 3) кут $120^{\circ}$ тупий — додаємо, сторона довша ($7$). Така перевірка «на здоровий глузд» допомагає зловити помилку зі знаком.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.