Вправа 2.7 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.7. Сторони паралелограма дорівнюють $2\sqrt{2}$ см і $5$ см, а один із кутів дорівнює $45^{\circ}$. Знайдіть діагоналі паралелограма.
Дано
$ABCD$ — паралелограм
$AB = 2\sqrt{2}$ см, $AD = 5$ см
$\angle A = 45^{\circ}$
Знайти
$AC - ?$, $BD - ?$
Менша діагональ $BD$ лежить проти кута $\angle A = 45^{\circ}$ у трикутнику $ABD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos45^{\circ}$.
$BD^2 = 8 + 25 - 2\cdot2\sqrt{2}\cdot5\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} =$
$= 33 - 20 = 13$.
$BD = \sqrt{13}$ (см).
Кут $\angle ADC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$. Діагональ $AC$ лежить проти нього у трикутнику $ACD$:
$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2\cdot AD\cdot DC\cdot\cos135^{\circ}$.
$AC^2 = 25 + 8 - 2\cdot5\cdot2\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) =$
$= 33 + 20 = 53$.
$AC = \sqrt{53}$ (см).
Теорема косинусів
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
Кути паралелограма
Сусідні кути доповнюють одне одного до $180^{\circ}$:
$180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
Діагональ «відрізає» трикутник. Кожна діагональ паралелограма ділить його на два трикутники. У такому трикутнику відомі дві сторони паралелограма й кут між ними — ідеально для теореми косинусів. Діагональ — це сторона навпроти цього кута.
Дві діагоналі — два різні кути. Менша діагональ лежить проти гострого кута $45^{\circ}$, більша — проти тупого $135^{\circ}$ (сусіднього). Тому й рахуємо їх окремо, з різними косинусами. Гострий кут дає віднімання (коротша діагональ), тупий — додавання (довша).
Перевірка тотожністю. Сума квадратів діагоналей має дорівнювати подвоєній сумі квадратів сторін: $13+53=66$, а $2(8+25)=66$. Збіг підтверджує відповідь — це зручний спосіб себе перевірити в задачах на паралелограм.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.