Вправа 3.18 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.18. Діагональ паралелограма дорівнює $d$ і утворює з його сторонами кути $\alpha$ і $\beta$. Знайдіть сторони паралелограма.
Дано
паралелограм $ABCD$
діагональ $AC=d$
$\angle BAC=\alpha$, $\angle ACB=\beta$
Знайти
сторони $AB$, $BC - ?$
Діагональ $AC$ розбиває паралелограм на трикутник $ABC$, де $AC=d$ — сторона проти кута $B$.
$\angle ABC=180^{\circ}-\alpha-\beta$, тому $\sin\angle ABC=\sin(\alpha+\beta)$.
За теоремою синусів: $\dfrac{AC}{\sin\angle B}=\dfrac{BC}{\sin\alpha}=\dfrac{AB}{\sin\beta}$.
$BC=\dfrac{d\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$.
$AB=\dfrac{d\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$.
Діагональ паралелограма
Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники. У трикутнику $ABC$ сторонами є дві сусідні сторони паралелограма й діагональ.
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
Синус суми
$\sin\angle B=\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta)$.
Зведення до трикутника. Діагональ паралелограма разом із двома його сторонами утворює трикутник. Кути, які діагональ утворює зі сторонами ($\alpha$ і $\beta$), — це два кути цього трикутника, а сама діагональ $d$ — сторона навпроти третього кута.
Третій кут трикутника. Кут навпроти діагоналі — це $\angle B=180^{\circ}-\alpha-\beta$. Його синус дорівнює $\sin(\alpha+\beta)$, тому в усіх формулах у знаменнику стоїть саме $\sin(\alpha+\beta)$.
Яка сторона з яким кутом. Сторона $BC$ лежить навпроти кута $\alpha$, $AB$ — навпроти $\beta$. Звідси й розподіл: до $BC$ йде $\sin\alpha$, до $AB$ — $\sin\beta$. У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому ці дві сторони повністю задають усі чотири.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.