Вправа 3.17 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.17. У трикутнику $ABC$ відомо, що $BC=a$, $\angle A=\alpha$, $\angle C=\gamma$. Знайдіть сторони $AB$ і $AC$.
Дано
$\triangle ABC$
$BC=a$
$\angle A=\alpha$, $\angle C=\gamma$
Знайти
$AB - ?$, $AC - ?$
$\angle B=180^{\circ}-\alpha-\gamma$, тому $\sin\angle B=\sin(\alpha+\gamma)$.
За теоремою синусів: $\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin B}$.
$AB=\dfrac{BC\cdot\sin C}{\sin A}=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}$.
$AC=\dfrac{BC\cdot\sin B}{\sin A}=\dfrac{a\sin(\alpha+\gamma)}{\sin\alpha}$.
Сума кутів трикутника
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$.
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
Синус суміжного кута
$\sin(180^{\circ}-x)=\sin x$, тому $\sin\angle B=\sin(\alpha+\gamma)$.
Чому теорема синусів. Дано одну сторону і два кути — і шукаємо дві інші сторони. Кожна сторона зв'язана з протилежним кутом, тому всі три відношення рівні, і будь-яку сторону можна виразити через дану $BC=a$ та її кут $\alpha$.
Сторона навпроти кута. $AB$ лежить навпроти $\angle C=\gamma$, $AC$ — навпроти $\angle B$, а дана $BC$ — навпроти $\angle A=\alpha$. Тому в кожній пропорції в «опорі» стоїть $\dfrac{a}{\sin\alpha}$.
Чому $\sin\angle B=\sin(\alpha+\gamma)$. Кут $B$ виражається через два інших: $\angle B=180^{\circ}-(\alpha+\gamma)$. А синус кута, доповнюючого до $180^{\circ}$, дорівнює синусу самого доповнення. Тож зручно одразу писати $\sin(\alpha+\gamma)$, не обчислюючи $\angle B$ окремо.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.