Вправа 3.22 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Умова
3.22. Радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$, дорівнює 6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника $AOC$, де $O$ — точка перетину бісектрис трикутника $ABC$, якщо $\angle ABC=60^{\circ}$.
Розв'язання
Дано
$R_{ABC}=6$ см
$O$ — точка перетину бісектрис
$\angle ABC=60^{\circ}$
Знайти
$R_{AOC} - ?$
$AC$ — спільна сторона трикутників $ABC$ і $AOC$. У трикутнику $ABC$ вона навпроти $\angle B=60^{\circ}$:
$AC=2R_{ABC}\sin\angle B=2\cdot 6\cdot\sin 60^{\circ}=$
$=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ (см).
Кут $AOC$ через кут $B$:
$\angle AOC=90^{\circ}+\dfrac{\angle B}{2}=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$.
У трикутнику $AOC$ сторона $AC$ навпроти $\angle AOC$:
$R_{AOC}=\dfrac{AC}{2\sin\angle AOC}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2\sin 120^{\circ}}=$
$=\dfrac{6\sqrt{3}}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6$ (см).
Відповідь
$R_{AOC}=6$ см.
Наслідок з теореми синусів
$a=2R\sin\alpha$, $R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}$.
Кут між бісектрисами (інцентр)
Якщо $O$ — точка перетину бісектрис трикутника $ABC$, то
$\angle AOC=90^{\circ}+\dfrac{\angle B}{2}$.
Табличні значення
$\sin 60^{\circ}=\sin 120^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Знов спільна хорда. Сторона $AC$ належить обом трикутникам, тож виступає хордою у двох колах. Шукаємо її довжину з кола трикутника $ABC$, а потім використовуємо для кола $AOC$.
Звідки кут $90^{\circ}+\dfrac{B}{2}$. Це відома властивість точки перетину бісектрис: у трикутнику $AOC$ кути при $A$ і $C$ дорівнюють половинам кутів $A$ і $C$ трикутника $ABC$. Тоді $\angle AOC=180^{\circ}-\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}=180^{\circ}-\dfrac{180^{\circ}-B}{2}=90^{\circ}+\dfrac{B}{2}$.
Красивий результат. Радіус кола навколо $AOC$ вийшов рівним радіусу кола навколо $ABC$ ($6=6$). Це не випадковість: при $\angle B=60^{\circ}$ маємо $\angle AOC=120^{\circ}$, і оскільки $\sin 120^{\circ}=\sin 60^{\circ}$, обидва радіуси збігаються.
3.22. Радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$, дорівнює 6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника $AOC$, де $O$ — точка перетину бісектрис трикутника $ABC$, якщо $\angle ABC=60^{\circ}$.
Дано
$R_{ABC}=6$ см
$O$ — точка перетину бісектрис
$\angle ABC=60^{\circ}$
Знайти
$R_{AOC} - ?$
$AC$ — спільна сторона трикутників $ABC$ і $AOC$. У трикутнику $ABC$ вона навпроти $\angle B=60^{\circ}$:
$AC=2R_{ABC}\sin\angle B=2\cdot 6\cdot\sin 60^{\circ}=$
$=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ (см).
Кут $AOC$ через кут $B$:
$\angle AOC=90^{\circ}+\dfrac{\angle B}{2}=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$.
У трикутнику $AOC$ сторона $AC$ навпроти $\angle AOC$:
$R_{AOC}=\dfrac{AC}{2\sin\angle AOC}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2\sin 120^{\circ}}=$
$=\dfrac{6\sqrt{3}}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6$ (см).
Наслідок з теореми синусів
$a=2R\sin\alpha$, $R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}$.
Кут між бісектрисами (інцентр)
Якщо $O$ — точка перетину бісектрис трикутника $ABC$, то
$\angle AOC=90^{\circ}+\dfrac{\angle B}{2}$.
Табличні значення
$\sin 60^{\circ}=\sin 120^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Знов спільна хорда. Сторона $AC$ належить обом трикутникам, тож виступає хордою у двох колах. Шукаємо її довжину з кола трикутника $ABC$, а потім використовуємо для кола $AOC$.
Звідки кут $90^{\circ}+\dfrac{B}{2}$. Це відома властивість точки перетину бісектрис: у трикутнику $AOC$ кути при $A$ і $C$ дорівнюють половинам кутів $A$ і $C$ трикутника $ABC$. Тоді $\angle AOC=180^{\circ}-\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}=180^{\circ}-\dfrac{180^{\circ}-B}{2}=90^{\circ}+\dfrac{B}{2}$.
Красивий результат. Радіус кола навколо $AOC$ вийшов рівним радіусу кола навколо $ABC$ ($6=6$). Це не випадковість: при $\angle B=60^{\circ}$ маємо $\angle AOC=120^{\circ}$, і оскільки $\sin 120^{\circ}=\sin 60^{\circ}$, обидва радіуси збігаються.
3.22. Радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$, дорівнює 6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника $AOC$, де $O$ — точка перетину бісектрис трикутника $ABC$, якщо $\angle ABC=60^{\circ}$.
Дано
$R_{ABC}=6$ см
$O$ — точка перетину бісектрис
$\angle ABC=60^{\circ}$
Знайти
$R_{AOC} - ?$
$AC$ — спільна сторона трикутників $ABC$ і $AOC$. У трикутнику $ABC$ вона навпроти $\angle B=60^{\circ}$:
$AC=2R_{ABC}\sin\angle B=2\cdot 6\cdot\sin 60^{\circ}=$
$=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ (см).
Кут $AOC$ через кут $B$:
$\angle AOC=90^{\circ}+\dfrac{\angle B}{2}=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$.
У трикутнику $AOC$ сторона $AC$ навпроти $\angle AOC$:
$R_{AOC}=\dfrac{AC}{2\sin\angle AOC}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2\sin 120^{\circ}}=$
$=\dfrac{6\sqrt{3}}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6$ (см).
Наслідок з теореми синусів
$a=2R\sin\alpha$, $R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}$.
Кут між бісектрисами (інцентр)
Якщо $O$ — точка перетину бісектрис трикутника $ABC$, то
$\angle AOC=90^{\circ}+\dfrac{\angle B}{2}$.
Табличні значення
$\sin 60^{\circ}=\sin 120^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Знов спільна хорда. Сторона $AC$ належить обом трикутникам, тож виступає хордою у двох колах. Шукаємо її довжину з кола трикутника $ABC$, а потім використовуємо для кола $AOC$.
Звідки кут $90^{\circ}+\dfrac{B}{2}$. Це відома властивість точки перетину бісектрис: у трикутнику $AOC$ кути при $A$ і $C$ дорівнюють половинам кутів $A$ і $C$ трикутника $ABC$. Тоді $\angle AOC=180^{\circ}-\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}=180^{\circ}-\dfrac{180^{\circ}-B}{2}=90^{\circ}+\dfrac{B}{2}$.
Красивий результат. Радіус кола навколо $AOC$ вийшов рівним радіусу кола навколо $ABC$ ($6=6$). Це не випадковість: при $\angle B=60^{\circ}$ маємо $\angle AOC=120^{\circ}$, і оскільки $\sin 120^{\circ}=\sin 60^{\circ}$, обидва радіуси збігаються.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.