Вправа 3.23 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.23. Сторона трикутника дорівнює 24 см, а радіус описаного кола — $8\sqrt{3}$ см. Чому дорівнює кут трикутника, протилежний даній стороні?
Дано
$\triangle ABC$
$a=24$ см
$R=8\sqrt{3}$ см
Знайти
$\angle\alpha$ проти $a - ?$
За наслідком з теореми синусів:
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$.
$\sin\alpha=\dfrac{a}{2R}=\dfrac{24}{2\cdot 8\sqrt{3}}=\dfrac{24}{16\sqrt{3}}=$
$=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\Rightarrow\;\alpha=60^{\circ}$ або $\alpha=120^{\circ}$.
Наслідок з теореми синусів
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$, $\sin\alpha=\dfrac{a}{2R}$.
Два кути з одним синусом
$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ дає $\alpha=60^{\circ}$ (гострий) або $\alpha=120^{\circ}$ (тупий).
Чому два розв'язки. Знаючи лише одну сторону і радіус, ми знаходимо $\sin\alpha$, але не сам кут. Значенню $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ відповідають два кути — $60^{\circ}$ і $120^{\circ}$. Жодних додаткових обмежень в умові немає, тому обидва допустимі.
Геометричний зміст. Одну й ту саму хорду $a=24$ у колі радіуса $8\sqrt{3}$ видно під двома різними вписаними кутами: з «ближчої» дуги — тупий $120^{\circ}$, з «дальшої» — гострий $60^{\circ}$. Обидва трикутники реально існують.
Спрощення дробу. $\dfrac{24}{16\sqrt{3}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}$; домноживши чисельник і знаменник на $\sqrt{3}$, дістаємо $\dfrac{3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Звільнення від кореня в знаменнику — стандартний прийом, що приводить до табличного значення.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.