Вправа 3.31 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.31. У трикутнику $ABC$ відомо, що $AC=b$, $\angle A=\alpha$, $\angle C=\gamma$. Знайдіть бісектрису $BD$ трикутника.
Дано
$\triangle ABC$, $AC=b$
$\angle A=\alpha$, $\angle C=\gamma$
$BD$ — бісектриса кута $B$
Знайти
$BD - ?$
$\angle B=180^{\circ}-\alpha-\gamma$.
$BD$ — бісектриса, тому $\angle ABD=\dfrac{\angle B}{2}=90^{\circ}-\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$.
З трикутника $ABC$ знайдемо $AB$. $AB$ навпроти $\angle C=\gamma$:
$AB=\dfrac{AC\sin\gamma}{\sin\angle B}=\dfrac{b\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}$.
У трикутнику $ABD$: $\angle A=\alpha$, $\angle ABD=90^{\circ}-\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$, тому
$\angle ADB=180^{\circ}-\alpha-\Big(90^{\circ}-\dfrac{\alpha+\gamma}{2}\Big)=90^{\circ}+\dfrac{\gamma-\alpha}{2}$.
$BD$ навпроти $\angle A=\alpha$:
$BD=\dfrac{AB\sin\alpha}{\sin\angle ADB}=\dfrac{b\sin\gamma\sin\alpha}{\sin(\alpha+\gamma)\sin\!\Big(90^{\circ}+\dfrac{\gamma-\alpha}{2}\Big)}$.
Оскільки $\sin\!\Big(90^{\circ}+\dfrac{\gamma-\alpha}{2}\Big)=\cos\dfrac{\gamma-\alpha}{2}$:
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
Бісектриса кута
Бісектриса ділить кут навпіл: $\angle ABD=\angle DBC=\dfrac{\angle B}{2}$.
Формули зведення
$\sin\angle B=\sin(\alpha+\gamma)$; $\sin(90^{\circ}+x)=\cos x$.
Бісектриса живе в меншому трикутнику. Відрізок $BD$ — сторона трикутника $ABD$. Щоб застосувати там теорему синусів, треба знати хоча б одну сторону цього трикутника. Беремо $AB$ — її легко дістати з великого трикутника $ABC$.
Кути трикутника $ABD$. Один кут спільний із великим трикутником ($\angle A=\alpha$), другий — половина кута $B$ (бо $BD$ бісектриса). Третій кут $\angle ADB$ добиваємо із суми $180^{\circ}$.
Навіщо формула зведення. Запис $\sin(90^{\circ}+\tfrac{\gamma-\alpha}{2})$ незручний. Перетворюємо його на $\cos\tfrac{\gamma-\alpha}{2}$ — відповідь стає компактнішою і легше перевіряється. Це типовий завершальний крок у параметричних задачах.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.