Вправа 4.1 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.1. Обговоріть з однокласниками й однокласницями, за якими теоремами можна знайти невідомі сторони і кути трикутника, у якому дано:
1) дві сторони та кут між ними;
2) сторона та прилеглі до неї кути;
3) дві сторони та кут, протилежний до однієї із цих сторін.
1) Дві сторони та кут між ними
Третю сторону — за теоремою косинусів:
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$.
Решта кутів — за теоремою косинусів (через знайдені сторони) або за теоремою синусів; третій кут — із суми $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$.
2) Сторона та прилеглі до неї кути
Третій кут — із суми кутів: $\angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B$.
Дві невідомі сторони — за теоремою синусів:
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
3) Дві сторони та кут, протилежний до однієї з них
Протилежний до другої сторони кут — за теоремою синусів:
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$.
Третій кут — із суми кутів; третю сторону — за теоремою синусів.
Теорема косинусів
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$.
Дає третю сторону, коли відомі дві сторони і кут між ними; або косинус кута, коли відомі всі три сторони.
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$,
де $R$ — радіус описаного кола. Зв'язує сторону з протилежним до неї кутом.
Сума кутів трикутника
$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$.
Як вибрати теорему. Працює просте правило: якщо відомі дві сторони і кут між ними або всі три сторони — починай з теореми косинусів. Якщо відома сторона і протилежний до неї кут (пара «сторона–кут навпроти») — це сигнал до теореми синусів.
Перший випадок. Дві сторони і кут між ними однозначно задають трикутник (ознака рівності «сторона–кут–сторона»). Теорема косинусів одразу дає третю сторону, після чого трикутник «розв'язаний».
Другий випадок. Сторона і два прилеглі кути — теж однозначний трикутник (ознака «кут–сторона–кут»). Спершу зручно знайти третій кут (сума $180^{\circ}$), бо тоді кожна сторона має «свій» протилежний кут, і теорема синусів працює без зайвих кроків.
Третій випадок — найхитріший. Дві сторони і кут, протилежний до однієї з них, не завжди задають трикутник однозначно: інколи існує два різні трикутники (як у прикладі з $\alpha\approx 67^{\circ}$ або $\alpha\approx 113^{\circ}$). Знайшовши синус кута за теоремою синусів, пам'ятай, що кут може бути як гострим, так і тупим — і обидва варіанти треба перевірити на суму кутів.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.