Вправа 4.2 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.2. Розв'яжіть трикутник за стороною та двома кутами:
1) $a=10$ см, $\beta=20^{\circ}$, $\gamma=85^{\circ}$; 2) $b=16$ см, $\alpha=40^{\circ}$, $\beta=110^{\circ}$.
1) $a=10$ см, $\beta=20^{\circ}$, $\gamma=85^{\circ}$
$\alpha = 180^{\circ}-\beta-\gamma = 180^{\circ}-20^{\circ}-85^{\circ} = 75^{\circ}$.
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}$.
$b = \dfrac{a\sin\beta}{\sin\alpha} = \dfrac{10\sin 20^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} \approx \dfrac{10\cdot 0{,}342}{0{,}966} \approx 3{,}5$ (см).
$c = \dfrac{a\sin\gamma}{\sin\alpha} = \dfrac{10\sin 85^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} \approx \dfrac{10\cdot 0{,}996}{0{,}966} \approx 10{,}3$ (см).
2) $b=16$ см, $\alpha=40^{\circ}$, $\beta=110^{\circ}$
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta = 180^{\circ}-40^{\circ}-110^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}$.
$a = \dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta} = \dfrac{16\sin 40^{\circ}}{\sin 110^{\circ}} \approx \dfrac{16\cdot 0{,}643}{0{,}940} \approx 10{,}9$ (см).
$c = \dfrac{b\sin\gamma}{\sin\beta} = \dfrac{16\sin 30^{\circ}}{\sin 110^{\circ}} \approx \dfrac{16\cdot 0{,}5}{0{,}940} \approx 8{,}5$ (см).
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}$.
Сторона трикутника пропорційна синусу протилежного до неї кута.
Сума кутів трикутника
$\alpha+\beta+\gamma = 180^{\circ}$.
Чому з теореми синусів. Дано сторону і два кути — це випадок «кут–сторона–кут», трикутник визначається однозначно. Найзручніше спочатку знайти третій кут (сума $180^{\circ}$), бо тоді кожна сторона матиме «свій» протилежний кут, і теорема синусів дасть невідомі сторони напряму.
Як скласти пропорцію. Завжди бери ту пару «сторона–кут», де сторона відома ($a$ і $\alpha$ у першому пункті, $b$ і $\beta$ — у другому). Це «опорне» відношення, через нього виражаються решта сторін.
Часта помилка. Підставляють синус не того кута: для сторони $b$ потрібен $\sin\beta$ (протилежний до $b$), а не синус сусіднього кута. Пам'ятай: сторона «дивиться» на свій кут навпроти.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.