Вправа 4.10 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.10. Розв'яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:
1) $a=7$ см, $b=11$ см, $\beta=46^{\circ}$; 2) $b=15$ см, $c=17$ см, $\beta=32^{\circ}$; 3) $a=7$ см, $c=3$ см, $\gamma=27^{\circ}$.
1) $a=7$ см, $b=11$ см, $\beta=46^{\circ}$
$\sin\alpha = \dfrac{a\sin\beta}{b} = \dfrac{7\sin 46^{\circ}}{11} \approx \dfrac{7\cdot 0{,}719}{11} \approx 0{,}458$.
$\alpha \approx 27^{\circ}$ (другий варіант $153^{\circ}$ дав би $\alpha+\beta > 180^{\circ}$ — відпадає).
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 180^{\circ}-27^{\circ}-46^{\circ} = 107^{\circ}$.
$c = \dfrac{b\sin\gamma}{\sin\beta} \approx \dfrac{11\sin 107^{\circ}}{\sin 46^{\circ}} \approx \dfrac{11\cdot 0{,}956}{0{,}719} \approx 14{,}6$ (см).
2) $b=15$ см, $c=17$ см, $\beta=32^{\circ}$
$\sin\gamma = \dfrac{c\sin\beta}{b} = \dfrac{17\sin 32^{\circ}}{15} \approx \dfrac{17\cdot 0{,}530}{15} \approx 0{,}601$.
$\gamma \approx 37^{\circ}$ або $\gamma \approx 180^{\circ}-37^{\circ} = 143^{\circ}$ — обидва дають трикутник.
Випадок $\gamma\approx 37^{\circ}$:
$\alpha = 180^{\circ}-32^{\circ}-37^{\circ} = 111^{\circ}$.
$a = \dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta} \approx \dfrac{15\sin 111^{\circ}}{\sin 32^{\circ}} \approx 26{,}4$ (см).
Випадок $\gamma\approx 143^{\circ}$:
$\alpha = 180^{\circ}-32^{\circ}-143^{\circ} = 5^{\circ}$.
$a = \dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta} \approx \dfrac{15\sin 5^{\circ}}{\sin 32^{\circ}} \approx 2{,}4$ (см).
3) $a=7$ см, $c=3$ см, $\gamma=27^{\circ}$
$\sin\alpha = \dfrac{a\sin\gamma}{c} = \dfrac{7\sin 27^{\circ}}{3} \approx \dfrac{7\cdot 0{,}454}{3} \approx 1{,}06$.
$\sin\alpha > 1$ — такого кута немає, трикутник не існує.
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}$.
Дві можливості для кута
Із $\sin\alpha = m$ кут $\alpha$ може бути гострим або тупим: $\alpha_0$ чи $180^{\circ}-\alpha_0$. Кожен перевіряють на суму кутів.
Умова існування
Синус не може перевищувати $1$. Якщо $\sin\alpha > 1$ — трикутника з такими даними немає.
Три різні фінали з одного методу. Усі три пункти — той самий «неоднозначний» випадок (сторони і кут навпроти однієї з них), але результати різні: один трикутник, два трикутники, жодного. Усе вирішує знайдений синус і перевірка суми кутів.
Коли варіант відпадає (пункт 1). Знайшли $\sin\alpha\approx 0{,}458$, звідси $\alpha\approx 27^{\circ}$ або $153^{\circ}$. Але $153^{\circ}+46^{\circ}=199^{\circ} > 180^{\circ}$ — другий трикутник неможливий, лишається один.
Коли два (пункт 2). Тут обидва варіанти $\gamma\approx 37^{\circ}$ і $\gamma\approx 143^{\circ}$ разом із $\beta=32^{\circ}$ дають суму менше $180^{\circ}$ — існують два різні трикутники. Помилка — зупинитися на першому.
Коли жодного (пункт 3). Вийшло $\sin\alpha\approx 1{,}06 > 1$ — синуса більше за одиницю не буває, такого трикутника не існує. Це підказує: коротка сторона $c=3$ «не дотягується» до сторони $a=7$ при куті $27^{\circ}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.