Вправа 4.11 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.11. Розв'яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:
1) $a=23$ см, $c=30$ см, $\gamma=102^{\circ}$; 2) $a=18$ см, $b=25$ см, $\alpha=36^{\circ}$.
1) $a=23$ см, $c=30$ см, $\gamma=102^{\circ}$
$\sin\alpha = \dfrac{a\sin\gamma}{c} = \dfrac{23\sin 102^{\circ}}{30} \approx \dfrac{23\cdot 0{,}978}{30} \approx 0{,}750$.
$\alpha \approx 49^{\circ}$ (тупий варіант неможливий: $\gamma=102^{\circ}$ уже тупий, другого тупого кута бути не може).
$\beta = 180^{\circ}-\alpha-\gamma \approx 180^{\circ}-49^{\circ}-102^{\circ} = 29^{\circ}$.
$b = \dfrac{c\sin\beta}{\sin\gamma} \approx \dfrac{30\sin 29^{\circ}}{\sin 102^{\circ}} \approx 15{,}1$ (см).
2) $a=18$ см, $b=25$ см, $\alpha=36^{\circ}$
$\sin\beta = \dfrac{b\sin\alpha}{a} = \dfrac{25\sin 36^{\circ}}{18} \approx \dfrac{25\cdot 0{,}588}{18} \approx 0{,}816$.
$\beta \approx 55^{\circ}$ або $\beta \approx 180^{\circ}-55^{\circ} = 125^{\circ}$ — обидва дають трикутник.
Випадок $\beta\approx 55^{\circ}$:
$\gamma = 180^{\circ}-36^{\circ}-55^{\circ} = 89^{\circ}$.
$c = \dfrac{a\sin\gamma}{\sin\alpha} \approx \dfrac{18\sin 89^{\circ}}{\sin 36^{\circ}} \approx 30{,}6$ (см).
Випадок $\beta\approx 125^{\circ}$:
$\gamma = 180^{\circ}-36^{\circ}-125^{\circ} = 19^{\circ}$.
$c = \dfrac{a\sin\gamma}{\sin\alpha} \approx \dfrac{18\sin 19^{\circ}}{\sin 36^{\circ}} \approx 9{,}8$ (см).
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}$.
Дві можливості для кута
Із синуса кут визначається неоднозначно: $\beta_0$ або $180^{\circ}-\beta_0$. Кожен перевіряють на суму кутів.
У трикутнику лише один тупий кут
Якщо один кут уже тупий, решта — гострі. Це часто відсіює зайвий варіант.
Тупий кут у даних — рятує від другого варіанта (пункт 1). Дано $\gamma=102^{\circ}$ — тупий. У трикутнику тупий кут лише один, тож $\alpha$ точно гострий. Тому з двох варіантів ($49^{\circ}$ і $131^{\circ}$) одразу беремо тільки $49^{\circ}$ — трикутник єдиний.
Усі кути гострі в даних — можливі два (пункт 2). Тут дано лише гострий $\alpha=36^{\circ}$, нічого не забороняє куту $\beta$ бути тупим. Обидва варіанти $55^{\circ}$ і $125^{\circ}$ проходять перевірку суми — існують два трикутники.
Як швидко зрозуміти, скільки розв'язків. Якщо відомий кут лежить навпроти більшої з двох сторін — трикутник один. Якщо навпроти меншої — можливі два (як у пункті 2: кут $36^{\circ}$ навпроти меншої сторони $a=18$, а $b=25$ більша).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.