Вправа 4.15 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.15. Бісектриса кута $B$ паралелограма $ABCD$ перетинає його сторону $AD$ у точці $M$, а продовження сторони $CD$ за точку $D$ — у точці $K$. Знайдіть відрізок $DK$, якщо $AM=8$ см, а периметр паралелограма дорівнює $50$ см.
Дано
Паралелограм $ABCD$
$BM$ — бісектриса кута $B$, $M\in AD$
$K$ — на продовженні $CD$ за $D$
$AM=8$ см, $P=50$ см
Знайти
$DK$
$BM$ — бісектриса, тому $\angle ABM = \angle MBC$.
$BC\parallel AD \;\Rightarrow\; \angle MBC = \angle AMB$ (навхрест лежачі).
$\angle ABM = \angle AMB \;\Rightarrow\; \triangle ABM$ рівнобедрений: $AB = AM = 8$ (см).
$P = 2(AB+AD) \;\Rightarrow\; AB+AD = \dfrac{50}{2} = 25$.
$AD = 25 - AB = 25 - 8 = 17$ (см).
$MD = AD - AM = 17 - 8 = 9$ (см).
$\angle DMK = \angle AMB$ (вертикальні), а $\angle AMB = \angle MBC = \angle DKM$ (бо $AB\parallel CD$).
$\angle DMK = \angle DKM \;\Rightarrow\; \triangle DMK$ рівнобедрений: $DK = MD = 9$ (см).
Периметр паралелограма
$P = 2(AB+AD)$, бо протилежні сторони рівні.
Ознака рівнобедреного трикутника
Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений: проти рівних кутів лежать рівні сторони.
Кути при паралельних прямих
Січна, що перетинає дві паралельні прямі, утворює рівні навхрест лежачі кути.
Ключова ідея — рівнобедрений трикутник. Бісектриса дає рівність $\angle ABM=\angle MBC$. А паралельність $BC\parallel AD$ перекидає кут $\angle MBC$ у кут $\angle AMB$ (навхрест лежачі при січній $BM$). Виходить $\angle ABM=\angle AMB$ — трикутник $ABM$ рівнобедрений, тому $AB=AM=8$. Це «розблоковує» всю задачу.
Звідки $AD$. Знаючи $AB=8$ і периметр, з рівності $AB+AD=25$ одразу маємо $AD=17$, а $MD=AD-AM=9$.
Другий рівнобедрений трикутник. Той самий прийом працює для точки $K$: вертикальні кути в $M$ і паралельність $AB\parallel CD$ дають $\angle DMK=\angle DKM$, тож $\triangle DMK$ теж рівнобедрений і $DK=MD=9$.
Часта помилка. Думають, що бісектриса ділить сторону навпіл. Це не так — вона лише створює рівнобедрений трикутник. Рівність дає не половину сторони, а рівність $AB=AM$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.