Вправа 4.16 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.16. Периметр одного з двох подібних трикутників на $18$ см менший від периметра другого трикутника, а дві відповідні сторони цих трикутників дорівнюють $5$ см і $8$ см. Знайдіть периметри даних трикутників.
Дано
Подібні трикутники
Відповідні сторони $5$ см і $8$ см
$P_2 - P_1 = 18$ см
Знайти
$P_1$, $P_2$
Коефіцієнт подібності: $k = \dfrac{8}{5}$.
Периметри подібних трикутників відносяться як $k$: $\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{8}{5}$.
Нехай $P_1 = 5x$, тоді $P_2 = 8x$.
$P_2 - P_1 = 18 \;\Rightarrow\; 8x - 5x = 18$.
$3x = 18 \;\Rightarrow\; x = 6$.
$P_1 = 5\cdot 6 = 30$ (см); $P_2 = 8\cdot 6 = 48$ (см).
Перевірка
$P_2 - P_1 = 48 - 30 = 18$ ✓; $\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{48}{30} = \dfrac{8}{5}$ ✓
Відношення периметрів подібних трикутників
$\dfrac{P_2}{P_1} = k$,
де $k$ — коефіцієнт подібності (відношення відповідних сторін). Периметри відносяться так само, як сторони.
Коефіцієнт подібності
$k = \dfrac{\text{сторона другого}}{\text{відповідна сторона першого}} = \dfrac{8}{5}$.
Головне — периметри пропорційні сторонам. У подібних трикутниках усі лінійні елементи (сторони, периметри, медіани, висоти) відносяться з одним і тим самим коефіцієнтом $k$. Тому $\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{8}{5}$ — те саме відношення, що й у відповідних сторін.
Зручний прийом із $x$. Замість дробів вводимо спільний множник: $P_1=5x$, $P_2=8x$. Тоді умова «різниця $18$» перетворюється на просте рівняння $3x=18$. Це швидше, ніж складати пропорцію з невідомими периметрами.
Не плутати з площами. Поширена помилка — використати $k^2$. Квадрат коефіцієнта потрібен для площ, а периметр — лінійна величина, тож тут саме $k$, без квадрата.
Більший периметр — у більшої сторони. Сторона $8 > 5$, тому й периметр $48 > 30$. Якщо вийшло навпаки — десь переплутано, який трикутник більший.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.