Вправа 4.6 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.6. Розв'яжіть трикутник за трьома сторонами:
1) $a=4$ см, $b=5$ см, $c=7$ см; 2) $a=26$ см, $b=19$ см, $c=42$ см.
1) $a=4$ см, $b=5$ см, $c=7$ см
$\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{25+49-16}{2\cdot 5\cdot 7} = \dfrac{58}{70} \approx 0{,}829$.
$\alpha \approx 34^{\circ}$.
$\cos\beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \dfrac{16+49-25}{2\cdot 4\cdot 7} = \dfrac{40}{56} \approx 0{,}714$.
$\beta \approx 44^{\circ}$.
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 180^{\circ}-34^{\circ}-44^{\circ} = 102^{\circ}$.
2) $a=26$ см, $b=19$ см, $c=42$ см
$\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{361+1764-676}{2\cdot 19\cdot 42} = \dfrac{1449}{1596} \approx 0{,}908$.
$\alpha \approx 25^{\circ}$.
$\cos\beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \dfrac{676+1764-361}{2\cdot 26\cdot 42} = \dfrac{2079}{2184} \approx 0{,}952$.
$\beta \approx 18^{\circ}$.
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 180^{\circ}-25^{\circ}-18^{\circ} = 137^{\circ}$.
Косинус кута через три сторони
$\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos\beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$, $\cos\gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
Сума кутів трикутника
$\alpha+\beta+\gamma = 180^{\circ}$.
Нерівність трикутника
Сума двох менших сторін має бути більша за третю. Інакше трикутник не існує.
Три сторони — теорема косинусів. Коли кутів немає зовсім, єдиний шлях — наслідок теореми косинусів: він дає косинус кожного кута через сторони. Два кути рахуємо за формулою, третій — як доповнення до $180^{\circ}$ (це швидше і точніше, ніж рахувати третій кут окремо).
Найбільший кут — навпроти найбільшої сторони. У пункті 2 найбільша сторона $c=42$, тож кут $\gamma$ найбільший — і він вийшов тупим ($137^{\circ}$). Якби ми порахували $\cos\gamma$ напряму, він був би від'ємним — ознака тупого кута.
Спершу перевір існування. Сторони мають задовольняти нерівність трикутника. У пункті 2: $26+19=45 > 42$ ✓ — трикутник існує. Якби сума двох менших була $\leqslant$ третьої, задача не мала б розв'язку.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.