Вправа 4.7 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.7. Розв'яжіть трикутник за трьома сторонами:
1) $a=5$ см, $b=6$ см, $c=8$ см; 2) $a=21$ см, $b=17$ см, $c=32$ см.
1) $a=5$ см, $b=6$ см, $c=8$ см
$\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{36+64-25}{2\cdot 6\cdot 8} = \dfrac{75}{96} \approx 0{,}781$.
$\alpha \approx 39^{\circ}$.
$\cos\beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \dfrac{25+64-36}{2\cdot 5\cdot 8} = \dfrac{53}{80} \approx 0{,}663$.
$\beta \approx 49^{\circ}$.
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 180^{\circ}-39^{\circ}-49^{\circ} = 92^{\circ}$.
2) $a=21$ см, $b=17$ см, $c=32$ см
$\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{289+1024-441}{2\cdot 17\cdot 32} = \dfrac{872}{1088} \approx 0{,}801$.
$\alpha \approx 37^{\circ}$.
$\cos\beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \dfrac{441+1024-289}{2\cdot 21\cdot 32} = \dfrac{1176}{1344} \approx 0{,}875$.
$\beta \approx 29^{\circ}$.
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 180^{\circ}-37^{\circ}-29^{\circ} = 114^{\circ}$.
Косинус кута через три сторони
$\cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos\beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$, $\cos\gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
Сума кутів трикутника
$\alpha+\beta+\gamma = 180^{\circ}$.
Вид кута за знаком $\cos$
$\cos > 0$ — кут гострий; $\cos = 0$ — прямий; $\cos < 0$ — тупий.
Той самий метод. Три сторони → косинуси двох кутів за наслідком теореми косинусів, третій кут — доповнення до $180^{\circ}$.
Як одразу побачити тупий кут. Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони $c$. Можна швидко перевірити знак $a^2+b^2-c^2$: у пункті 1 це $25+36-64=-3 < 0$ — отже $\gamma$ тупий (вийшло $92^{\circ}$, майже прямий). У пункті 2: $441+289-1024 < 0$ — $\gamma$ тупий ($114^{\circ}$).
Рахуй два менші кути. Зручно знаходити косинуси саме двох менших кутів (вони гострі, косинус додатний — менше шансів помилитися), а найбільший отримати відніманням від $180^{\circ}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.