Вправа 4.8 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 4.8. Розв'яжіть трикутник, у якому:
1) $a=10$ см, $b=3$ см, $\beta=10^{\circ}$, кут $\alpha$ гострий;
2) $a=10$ см, $b=3$ см, $\beta=10^{\circ}$, кут $\alpha$ тупий.
Спільний крок: знаходимо $\sin\alpha$
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta} \;\Rightarrow\; \sin\alpha = \dfrac{a\sin\beta}{b}$.
$\sin\alpha = \dfrac{10\sin 10^{\circ}}{3} \approx \dfrac{10\cdot 0{,}174}{3} \approx 0{,}579$.
$\alpha \approx 35^{\circ}$ або $\alpha \approx 180^{\circ}-35^{\circ} = 145^{\circ}$.
1) Кут $\alpha$ гострий: $\alpha\approx 35^{\circ}$
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 180^{\circ}-35^{\circ}-10^{\circ} = 135^{\circ}$.
$c = \dfrac{b\sin\gamma}{\sin\beta} \approx \dfrac{3\sin 135^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} \approx \dfrac{3\cdot 0{,}707}{0{,}174} \approx 12{,}3$ (см).
2) Кут $\alpha$ тупий: $\alpha\approx 145^{\circ}$
$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 180^{\circ}-145^{\circ}-10^{\circ} = 25^{\circ}$.
$c = \dfrac{b\sin\gamma}{\sin\beta} \approx \dfrac{3\sin 25^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} \approx \dfrac{3\cdot 0{,}423}{0{,}174} \approx 7{,}4$ (см).
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}$.
Дві можливості для кута за синусом
Якщо $\sin\alpha = m$, то $\alpha$ може дорівнювати куту $\alpha_0$ або $180^{\circ}-\alpha_0$: гострий і тупий кути мають однаковий синус.
Сума кутів трикутника
$\alpha+\beta+\gamma = 180^{\circ}$.
Чому два розв'язки. Дано дві сторони і кут, протилежний до однієї з них (а не між ними) — це «неоднозначний» випадок. Знайшовши $\sin\alpha$, ми не знаємо одразу, гострий кут $\alpha$ чи тупий: і $35^{\circ}$, і $145^{\circ}$ дають той самий синус. Саме тому в умові окремо вказано, який випадок брати.
Обидва трикутники існують. Перевір: у пункті 1 сума $\alpha+\beta=35^{\circ}+10^{\circ}=45^{\circ} < 180^{\circ}$ — трикутник є. У пункті 2 $145^{\circ}+10^{\circ}=155^{\circ} < 180^{\circ}$ — теж є. Якби сума перевищила $180^{\circ}$, відповідний варіант довелося б відкинути.
Більша сторона — більший кут навпроти. Тут $a=10 > b=3$, тому $\alpha > \beta$. Обидва знайдені варіанти ($35^{\circ}$ і $145^{\circ}$) більші за $\beta=10^{\circ}$ — умова не порушена, тож обидва трикутники коректні.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.