Вправа 5.24 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.24. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами $11$ см, $25$ см і $30$ см.
Дано
$\triangle ABC$
$AC=11$ см
$AB=25$ см
$BC=30$ см
Знайти
$h_{\max} - ?$
$p=\dfrac{11+25+30}{2}=\dfrac{66}{2}=33$ (см).
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$
$=\sqrt{33\cdot 22\cdot 8\cdot 3}=\sqrt{17424}=132$ (см²).
$h=\dfrac{2S}{a}$ — найбільша висота до найменшої сторони.
$h_{\max}=\dfrac{2\cdot 132}{11}=\dfrac{264}{11}=24$ (см).
Формула Герона
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,
де $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ — півпериметр.
Висота через площу
$S=\dfrac{1}{2}a h_a \;\Rightarrow\; h_a=\dfrac{2S}{a}$.
Яка висота найбільша. Площа однакова з будь-якої сторони: $S=\dfrac{1}{2}a h_a$. Тому чим менша сторона, тим більша висота до неї. Найбільша висота — до найменшої сторони $11$ см.
Чому висота «виходить» за трикутник. Трикутник тупокутний (кут при $A$ тупий), тому основа висоти до сторони $AC$ потрапляє на її продовження, а не на саму сторону. На довжину висоти це не впливає — формула $h=\dfrac{2S}{a}$ працює так само.
Перевірка. Висоти до інших сторін: $\dfrac{2\cdot 132}{25}=10{,}56$ і $\dfrac{2\cdot 132}{30}=8{,}8$ — обидві менші за $24$. Отже, $24$ см справді найбільша. ✓
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.